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CHAPITRE 2. CONDITIONS D’OPTIMALITÉ APPROCHÉE
(l’inf-convolution avec des fonctions quadratiques)... c’est souvent comme
cela en mathématiques.
Dans un contexte encore plus général, E est un espace de Banach, le théorème
de Borwein- Preiss a fait des petits, il y a de nombreux articles qui ont été
écrits sur le sujet, [FHV] en est un exemple choisi. Le Chapitre 8 de [Sc] est
entièrement consacré à ces principes variationnels.
2.2 Applications en théorie de l’approximation hilbertienne
Le problème-modèle en approximation hilbertienne est le suivant :
Étant donné x ∈ H (espace de Hilbert), S une partie fermée non vide de H ,
résoudre le problème de minimisation suivant
(P x )
Minimiser x − c (ou, ce qui revient au mˆ eme,
1
2 x − c
2
)
c ∈ S.
Comme · est la norme hilbertienne, on a bien fait de "lisser" la fonctionobjectif en prenant f (x) :=
1
2 x − c
2 . La fonction f se trouve être C ∞ et
convexe sur H (quadratique convexe, de fait).
Il y a deux objets mathématiques importants associés à la résolution de (P x ),
à savoir :
– la fonction-distance d S (ou ses associés)
d S : H → R
x → d S (x) := inf
c∈ S
x − c .
– la "multiapplication" solutions de (P x ), ou multiapplication-projection
sur S
P S : H ⇒ H
x → P S (x) := {c ∈ S | x − c = d S (x)} .
Au fond, P S est une application de H dans P(S)... et, bien entendu, P S (x)
peut être vide. Quand P S (x) est réduit à un seul élément, un singleton donc,
nous écrirons P S (x) = p S (x) (grand P vs. petit p).
2.2.1 La fonction-distance et ses associés
∗ Premières propriétés de la fonction-distance d S
• d S est (toujours) 1-Lipschitz sur H , c’est-à-dire :