2. PRINCIPE VARIATIONNEL DE BORWEIN-PREISS
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Il existe alors une suite (v k ) de points de H vérifiant les trois propriétés suivantes :
(i) f (v k ) → f quand k → +∞ [(v k ) est aussi une suite minimisante
pour f ] ;
(ii) v k − x k → 0 quand k → +∞ [l’écart entre v k et x k se resserre au fur
et à mesure que k augmente].
(iii) ∇ G f (v k ) → 0 quand k → +∞ [condition nécessaire d’optimalité du
1 er ordre asymptotique].
(iv) lim inf
k→+∞
lim inf
x→v k
f (x) − f (v k ) − −∇ G f (v k ), x − v k
x − v k 2
≥ 0
(2.14 ∞ )
[condition nécessaire d’optimalité du 2 nd ordre asymptotique ; une sorte
de version "asymptotisée" de (2.14)]
Démonstration : Pour k entier ≥ 1, soit ε k := f (x k ) − f +
1
k . Par construction, ε k > 0, et par hypothèse ε k → 0. Évidemment – et cela a été fait
pour :
f (x k ) < f + ε k .
Appliquons le théorème de Borwein- Preiss avec u = x k , ε = ε k et λ k =
(ε k ) 1/3 par exemple. Il existe alors v k et w k tels que :
• f (v k ) < f + ε k , d’où f (v k ) → f quand k → +∞ ;
• v k − x k < λ k = (ε k ) 1/3 , d’où v k − x k → 0 quand k → +∞ ;
• s k = ∇ G f (v k ) <
2ε k
λ k
= 2(ε k )
2/3 , d’où ∇ G f (v k ) → 0 quand k →
+∞.
Par ailleurs, appliquant la condition (C2) du corollaire 2.8 de la page 39,
gardant à l’esprit que s k = ∇ p(v k ) = ∇ G f (v k ),
lim inf
x→v k
f (x) − f (v k ) − −∇ G f (v k ), x − v k
x − v k 2
≥ −
ε k
λ k
2
= −(ε k )
1/3
.
L’inégalité (2.14 ∞ ) s’ensuit.
La démonstration du Théorème de Borwein- Preiss n’est pas facile, en
tout cas pas aussi directe que celle d’Ekeland. Voici ce qu’on peut en dire :
– Si H est de dimension finie (H espace euclidien), il est possible d’en faire
une démonstration dans l’esprit de celle du Théorème 2.5 de la page 36.
– Dans un contexte d’espace de Hilbert, outre la démonstration d’origine
dans [BP], il y a celle de Clarke, Ledyaev, Stern et Wolenski dans leur livre
( [CLSW], Chap. 1, § 4 et 5), mais il faut avoir traité d’autres choses avant
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Il existe alors une suite (v k ) de points de H vérifiant les trois propriétés suivantes :
(i) f (v k ) → f quand k → +∞ [(v k ) est aussi une suite minimisante
pour f ] ;
(ii) v k − x k → 0 quand k → +∞ [l’écart entre v k et x k se resserre au fur
et à mesure que k augmente].
(iii) ∇ G f (v k ) → 0 quand k → +∞ [condition nécessaire d’optimalité du
1 er ordre asymptotique].
(iv) lim inf
k→+∞
lim inf
x→v k
f (x) − f (v k ) − −∇ G f (v k ), x − v k
x − v k 2
≥ 0
(2.14 ∞ )
[condition nécessaire d’optimalité du 2 nd ordre asymptotique ; une sorte
de version "asymptotisée" de (2.14)]
Démonstration : Pour k entier ≥ 1, soit ε k := f (x k ) − f +
1
k . Par construction, ε k > 0, et par hypothèse ε k → 0. Évidemment – et cela a été fait
pour :
f (x k ) < f + ε k .
Appliquons le théorème de Borwein- Preiss avec u = x k , ε = ε k et λ k =
(ε k ) 1/3 par exemple. Il existe alors v k et w k tels que :
• f (v k ) < f + ε k , d’où f (v k ) → f quand k → +∞ ;
• v k − x k < λ k = (ε k ) 1/3 , d’où v k − x k → 0 quand k → +∞ ;
• s k = ∇ G f (v k ) <
2ε k
λ k
= 2(ε k )
2/3 , d’où ∇ G f (v k ) → 0 quand k →
+∞.
Par ailleurs, appliquant la condition (C2) du corollaire 2.8 de la page 39,
gardant à l’esprit que s k = ∇ p(v k ) = ∇ G f (v k ),
lim inf
x→v k
f (x) − f (v k ) − −∇ G f (v k ), x − v k
x − v k 2
≥ −
ε k
λ k
2
= −(ε k )
1/3
.
L’inégalité (2.14 ∞ ) s’ensuit.
La démonstration du Théorème de Borwein- Preiss n’est pas facile, en
tout cas pas aussi directe que celle d’Ekeland. Voici ce qu’on peut en dire :
– Si H est de dimension finie (H espace euclidien), il est possible d’en faire
une démonstration dans l’esprit de celle du Théorème 2.5 de la page 36.
– Dans un contexte d’espace de Hilbert, outre la démonstration d’origine
dans [BP], il y a celle de Clarke, Ledyaev, Stern et Wolenski dans leur livre
( [CLSW], Chap. 1, § 4 et 5), mais il faut avoir traité d’autres choses avant