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CHAPITRE 2. CONDITIONS D’OPTIMALITÉ APPROCHÉE
Démonstration : Comme
f (x) − f (v) − −s, x − v
x − v
= x − v
f (x) − f (v) − −s, x − v
x − v
2
;
il est facile de voir que (C1) est une conséquence de (C2).
(C2) est une condition de "minoration de courbure" de f en v par −
ε
λ 2 ,
laquelle est la courbure en tout point de la fonction quadratique p.
Soit θ(x) := f (x) − p(x), θ mesure l’écart entre les deux fonctions f
et p. On a déjà observé (cf. (2.12)) que θ(x) ≥ θ(v) pour tout x ∈ H . En
conséquence,
lim inf
x→v
θ(x) − θ(v)
x − v
2
≥ 0.
(2.13)
Sachant que p(x) = p(v)++s, x −v−
ε
λ 2 x − v
2 (c’est le développement
de Taylor à l’ordre 2 de p en x, exact puisque p est quadratique), on a :
θ(x) = f (x) − p(x) = f (x) − p(v) − −s, x − v +
ε
λ 2 x − v
2
,
−θ(v) = p(v) − f (v),
d’où
θ(x) − θ(v) = f (x) − f (v) − −s, x − v +
ε
λ 2 x − v
2
.
Le résultat (C2) annoncé resulte alors de (2.13).
On se souvient des conditions nécessaires d’optimalité suivantes :
Si f : H → R est minimisée (même localement) en x et que f est deux fois
différentiable en x, alors ∇ f (x) = 0 et D 2 f (x) est "positive", i.e. pour tout
d ∈ H , D 2 f (x)(d, d) ≥ 0.
En particulier,
lim inf
x→x
f (x) − f (x) − −∇ f (x), x − x
x − x
2
≥ 0 .
(2.14)
Mais que se passe-t-il quand il n’y a pas de minimiseur exact comme x ?
On a alors une sorte de conditions d’optimalité du 1 er et 2 nd ordre asymptotiques, avec des points qui "s’échappent à l’infini" ; elles sont bien sûr obtenues à partir de principes variationnels concernant des minimiseurs approchés
de f .
Proposition 2.9 Outre les hypothèses sur f au début du paragraphe
(p. 38), supposons que f soit Gâteaux-différentiable sur H . Soit (x k ) une
suite minimisante pour f , c’est-à-dire telle f (x k ) → f quand k → +∞.