2. PRINCIPE VARIATIONNEL DE BORWEIN-PREISS
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Ainsi, le graphe de f est au-dessus du graphe parabolique de p, et les
deux se touchent au point (v, f (v)).
(iii) peut d’ailleurs être raffiné en précisant que v est point de minimisation
unique de la fonction perturbée g sur H , bref le point de contact (v, f (v)) =
(v, p(v)) entre les deux graphes est le seul.
• En général, v = w, il n’y a aucune raison pour qu’ils coïncident.
La pente de p au point v (de contact) est ∇ p(v) = −
2ε
λ 2 (v − w). Avec les
estimations données en (ii), ∇ p(v) <
2ε
λ .
Le vecteur ∇ p(v) jouerait un rôle de "sous-gradient" ou de "gradient par
dessous" de f en x... Évidemment, si f se trouvait être différentiable en v
(in whatever sense), ∇ f (v) = ∇ p(v).
Précisons le rôle du point v par rapport à f , avec des substituts de conditions
nécessaires d’optimalité, du 1 er comme du 2 nd ordre.
Corollaire 2.8 Le vecteur s := ∇ p(v) vérifie :
(C1) [sorte de condition de minimalité du 1 er ordre]
lim inf
x→v
f (x) − f (v) − −s, x − v
x − v
≥ 0 ;
(C2) [sorte de condition de minimalité du 2 nd ordre]
lim inf
x→v
f (x) − f (v) − −s, x − v
x − v
2
≥ −
ε
λ 2 .
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Ainsi, le graphe de f est au-dessus du graphe parabolique de p, et les
deux se touchent au point (v, f (v)).
(iii) peut d’ailleurs être raffiné en précisant que v est point de minimisation
unique de la fonction perturbée g sur H , bref le point de contact (v, f (v)) =
(v, p(v)) entre les deux graphes est le seul.
• En général, v = w, il n’y a aucune raison pour qu’ils coïncident.
La pente de p au point v (de contact) est ∇ p(v) = −
2ε
λ 2 (v − w). Avec les
estimations données en (ii), ∇ p(v) <
2ε
λ .
Le vecteur ∇ p(v) jouerait un rôle de "sous-gradient" ou de "gradient par
dessous" de f en x... Évidemment, si f se trouvait être différentiable en v
(in whatever sense), ∇ f (v) = ∇ p(v).
Précisons le rôle du point v par rapport à f , avec des substituts de conditions
nécessaires d’optimalité, du 1 er comme du 2 nd ordre.
Corollaire 2.8 Le vecteur s := ∇ p(v) vérifie :
(C1) [sorte de condition de minimalité du 1 er ordre]
lim inf
x→v
f (x) − f (v) − −s, x − v
x − v
≥ 0 ;
(C2) [sorte de condition de minimalité du 2 nd ordre]
lim inf
x→v
f (x) − f (v) − −s, x − v
x − v
2
≥ −
ε
λ 2 .