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CHAPITRE 2. CONDITIONS D’OPTIMALITÉ APPROCHÉE
Contexte :
(H, ·, ··) est un espace de Hilbert (· =
·, ·· est la norme associée
à ·, ··).
f : H → R∪{+∞}, non identiquement égale à +∞, bornée inférieurement
sur H .
f est semicontinue inférieurement sur H .
Un des avantages de la norme hilbertienne · =
·, ·· est qu’elle est très
manipulable pour les calculs (rappelons que x + y
2
= x 2 + y 2 +
2 x, y) et que la fonction x → x 2 est C ∞ sur H .
Théorème 2.7 (J. Borwein et D. Preiss, 1987)
La tolérance ε > 0 étant donnée, soit u tel que f (u) < f + ε. Alors,
pour tout λ > 0, il existe v et w dans H tels que :
(i) f (v) < f + ε ;
(ii) v − u < λ et w − v < λ;
(iii) v minimise la fonction x → g(x) := f (x) +
ε
λ 2 x − w
2 sur H .
Commentaires
• C’est encore un théorème d’existence : "il existe v et w...", mais cette
fois-ci ce sont deux points qui sont exhibés.
• (i) indique que le v exhibé fait aussi bien que u.
• (ii) contrôle les distances de v et w par rapport au u de départ : v − u < λ
mais aussi w − u < 2 λ.
• La fonction perturbant f dans (iii) est C ∞ cette fois. Voyons ce que signifie (iii) géométriquement. Introduisons pour cela p(x) = −
ε
λ 2 x − w
2 ;
le graphe de p est parabolique, tourné vers le bas (car p est quadratique
concave), son sommet est atteint en x = w.
Réécrivons (iii) de manière différente mais équivalente :
∀ x ∈ H, g(x) ≥ g(v)
⇔ f (x) +
ε
λ 2 x − w
2
≥ f (v) +
ε
λ 2 v − w
2
,
soit encore :
∀ x ∈ H, f (x) − f (v) ≥ p(x) − p(v).
(2.12)