1. PRINCIPE VARIATIONNEL D’EKELAND
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Point (i). θ(v) ≤ θ(u), soit f (v) +
ε
λ p v − u
p
≤ f (u).
Point (ii). On a
f +
ε
λ p v − u
p
≤ f (v) +
ε
λ p v − u
p
≤ f (u) ≤ f + ε,
d’où
ε
λ p v − u
p
≤ ε,
et donc v − u ≤ λ.
Point (iii). θ(v) ≤ θ(x) pour tout x ∈ R n se traduit par :
f (v) +
ε
λ p v − u
p
≤ f (x) +
ε
λ p x − u
p pour tout x ∈ R
n
,
c’est-à-dire l’inégalité de (iii) annoncée.
Remarque 2.6 Dans le cas particulier où p = 1, l’inégalité (iii) du théorème
ci-dessus dit :
∀ x ∈ R
n
, f (v) +
ε
λ
v − u ≤ f (x) +
ε
λ
x − u .
Il s’ensuit :
∀ x ∈ R
n
, f (v) ≤ f (x) +
ε
λ
x − u − v − u
≤ f (x) +
ε
λ
x − v ,
ce qui est (l’essentiel de) l’inégalité (iii) du théorème d’Ekeland.
2 Condition nécessaire d’optimalité approchée ou principe
variationnel de BORWEIN-PREISS
2.1 Le théorème principal : énoncé, quelques illustrations
Dans ce paragraphe, l’idée est de présenter une condition nécessaire
d’optimalité approchée ou principe variationnel avec des perturbations "lisses"
de f , de la forme · p par exemple. Le résultat ne sera pas décliné dans toute
se généralité, mais dans un contexte simplifié : l’espace sous-jacent sera un
Hilbert et la perturbation de type · 2 .