EXERCICES
57
Exercice 5 (Un théorème de point fixe inhabituel)
Soit (X, ·) un espace de Banach, ϕ : X → R une fonction semicontinue
inférieurement et bornée inférieurement sur X . On considère f : X → X
vérifiant
x − f (x) ≤ ϕ(x) − ϕ[ f (x)] pour tout x ∈ X,
et on se propose de démontrer que f a un point fixe.
1) Montrer qu’il existe x ∈ X tel que
ϕ(x) ≤ ϕ(y) +
1
2
y − x pour tout y ∈ X.
En déduire que x = f (x).
2) Quelle différence essentielle voyez-vous entre ce résultat et les différents théorèmes de points fixes que vous avez rencontrés au cours de vos
études ?
Exercice 6 (Un résultat inhabituel d’existence d’un minimiseur)
Soit (X, ·) un espace de Banach. Soit f : X → R ∪ {+∞} une fonction
semicontinue inférieurement et bornée inférieurement sur X , non identiquement égale à +∞. On fait l’hypothèse suivante : il existe α > 0 tel que pour
tout x vérifiant f (x) > inf
X
f , on peut trouver ˜
x = x tel que
f ( ˜
x) + α x − ˜
x ≤ f (x).
1) Montrer qu’il existe x ∈ X tel que f (x) = inf
X
f .
2) Soit S l’ensemble des minimiseurs de f sur X . Montrer
d S (x) ≤
1
α
f (x) − inf
X
f
pour tout x ∈ X.
Exercice 7 (La règle de Fermat asymptotique)
Soit H un espace de Hilbert : ·, ·· désigne le produit scalaire et · la norme
associée. Si f : H → R est minimisée en x et qu’elle y est Gâteauxdifférentiable, alors ∇ f (x) = 0 (c’est la règle de Fermat). C’est la version
"asymptotique" de cette règle que nous proposons d’établir dans cet exercice.
Considérons : H → R semicontinue inférieurement, Gâteaux-différentiable
sur H (par exemple, la Fréchet-différentiabilité de f sur H assure ces deux
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Exercice 5 (Un théorème de point fixe inhabituel)
Soit (X, ·) un espace de Banach, ϕ : X → R une fonction semicontinue
inférieurement et bornée inférieurement sur X . On considère f : X → X
vérifiant
x − f (x) ≤ ϕ(x) − ϕ[ f (x)] pour tout x ∈ X,
et on se propose de démontrer que f a un point fixe.
1) Montrer qu’il existe x ∈ X tel que
ϕ(x) ≤ ϕ(y) +
1
2
y − x pour tout y ∈ X.
En déduire que x = f (x).
2) Quelle différence essentielle voyez-vous entre ce résultat et les différents théorèmes de points fixes que vous avez rencontrés au cours de vos
études ?
Exercice 6 (Un résultat inhabituel d’existence d’un minimiseur)
Soit (X, ·) un espace de Banach. Soit f : X → R ∪ {+∞} une fonction
semicontinue inférieurement et bornée inférieurement sur X , non identiquement égale à +∞. On fait l’hypothèse suivante : il existe α > 0 tel que pour
tout x vérifiant f (x) > inf
X
f , on peut trouver ˜
x = x tel que
f ( ˜
x) + α x − ˜
x ≤ f (x).
1) Montrer qu’il existe x ∈ X tel que f (x) = inf
X
f .
2) Soit S l’ensemble des minimiseurs de f sur X . Montrer
d S (x) ≤
1
α
f (x) − inf
X
f
pour tout x ∈ X.
Exercice 7 (La règle de Fermat asymptotique)
Soit H un espace de Hilbert : ·, ·· désigne le produit scalaire et · la norme
associée. Si f : H → R est minimisée en x et qu’elle y est Gâteauxdifférentiable, alors ∇ f (x) = 0 (c’est la règle de Fermat). C’est la version
"asymptotique" de cette règle que nous proposons d’établir dans cet exercice.
Considérons : H → R semicontinue inférieurement, Gâteaux-différentiable
sur H (par exemple, la Fréchet-différentiabilité de f sur H assure ces deux