1. PRINCIPE VARIATIONNEL D’EKELAND
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les points fixes d’applications contractantes" (voir plus loin pour un lien entre
les deux). Deux points que nous soulignons toutefois :
– L’importance du caractère complet de E... Il a même été démontré que,
peu ou prou, le théorème d’Ekeland s’applique si et seulement si E est
complet.
– Avec ε =
1
k , on exhibe v k tel que f (v k ) ≤ f +
1
k . On est donc tenté –
j’ai vu ça plusieurs fois chez les étudiants – de passer à la limite sur k,
en extrayant une sous-suite convergente (v k n ) de (v k )... sauf que (v k ) n’a
pas forcément de sous-suite convergente. Si tel était le cas, si v k n → v
quand n → +∞,
lim inf
n→+∞
f (v k n ) ≥ f (v) car f est s.c.i.,
lim sup
n→+∞
f (v k n ) ≤ f ,
soit f (v) = f ... On est loin de telles situations, c’est plus volontiers
que "v k s’échappe à l’infini" (for whatever that means...).
• Le contexte classique de la méthode des approximations successives pour
les points fixes des applications contractantes est le suivant :
(E, d) est un espace métrique complet ; ϕ est une contraction sur E, c’està-dire il existe 0 < k < 1 tel que :
∀ x, y ∈ E, d [ϕ(x), ϕ(y)] ≤ k d(x, y).
(2.8)
Alors ϕ a un point fixe et un seul (un seul point x ∈ E pour lequel ϕ(x) = x).
L’unicité du point fixe ne pose pas problème, c’est son existence qui en pose.
Voyons comment le théorème d’Ekeland permet d’y accéder facilement.
Définissons f : E → R par f (x) := d [x, ϕ(x)]. Bien sûr, f est continue et
bornée inférieurement sur E (inf
E
f ≥ 0 puisque f ≥ 0). Choisissons ε > 0
de telle sorte que ε < 1 − k (possible puisque 1 − k > 0). Grâce au raccourci
énoncé en page 28 (cf. Corollaire 2.2), il existe v ∈ E tel que
f (v) ≤ f (x) + ε d(x, v) pour tout x ∈ E.
(2.9)
Nous proposons x := ϕ(v) ; démontrons que cet x fait notre affaire, c’est-àdire que ϕ(x) = x.
Premier point : exploitation de la propriété de contraction (2.8) avec x et v,
soit
d
x, ϕ(x)
= d [ϕ(v), ϕ(x)] ≤ k d(x, v).
(2.10)
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les points fixes d’applications contractantes" (voir plus loin pour un lien entre
les deux). Deux points que nous soulignons toutefois :
– L’importance du caractère complet de E... Il a même été démontré que,
peu ou prou, le théorème d’Ekeland s’applique si et seulement si E est
complet.
– Avec ε =
1
k , on exhibe v k tel que f (v k ) ≤ f +
1
k . On est donc tenté –
j’ai vu ça plusieurs fois chez les étudiants – de passer à la limite sur k,
en extrayant une sous-suite convergente (v k n ) de (v k )... sauf que (v k ) n’a
pas forcément de sous-suite convergente. Si tel était le cas, si v k n → v
quand n → +∞,
lim inf
n→+∞
f (v k n ) ≥ f (v) car f est s.c.i.,
lim sup
n→+∞
f (v k n ) ≤ f ,
soit f (v) = f ... On est loin de telles situations, c’est plus volontiers
que "v k s’échappe à l’infini" (for whatever that means...).
• Le contexte classique de la méthode des approximations successives pour
les points fixes des applications contractantes est le suivant :
(E, d) est un espace métrique complet ; ϕ est une contraction sur E, c’està-dire il existe 0 < k < 1 tel que :
∀ x, y ∈ E, d [ϕ(x), ϕ(y)] ≤ k d(x, y).
(2.8)
Alors ϕ a un point fixe et un seul (un seul point x ∈ E pour lequel ϕ(x) = x).
L’unicité du point fixe ne pose pas problème, c’est son existence qui en pose.
Voyons comment le théorème d’Ekeland permet d’y accéder facilement.
Définissons f : E → R par f (x) := d [x, ϕ(x)]. Bien sûr, f est continue et
bornée inférieurement sur E (inf
E
f ≥ 0 puisque f ≥ 0). Choisissons ε > 0
de telle sorte que ε < 1 − k (possible puisque 1 − k > 0). Grâce au raccourci
énoncé en page 28 (cf. Corollaire 2.2), il existe v ∈ E tel que
f (v) ≤ f (x) + ε d(x, v) pour tout x ∈ E.
(2.9)
Nous proposons x := ϕ(v) ; démontrons que cet x fait notre affaire, c’est-àdire que ϕ(x) = x.
Premier point : exploitation de la propriété de contraction (2.8) avec x et v,
soit
d
x, ϕ(x)
= d [ϕ(v), ϕ(x)] ≤ k d(x, v).
(2.10)