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CHAPITRE 2. CONDITIONS D’OPTIMALITÉ APPROCHÉE
Propriété (ii). De (2.6) il vient :
f +
ε
λ
v − u ≤ f (u) ≤ f + ε
rappelons que f = inf
E
f
;
d’où v − u ≤ λ.
Propriété (iii). C’est le point le plus délicat... On va démontrer (iii) sous la
forme contraposée suivante
x ∈ E, f (x) +
ε
λ
x − v ≤ f (v)
⇒ (x = v) .
(2.7)
On est d’accord que cela revient au même ?
Partons donc de x ∈ E vérifiant f (x) +
ε
λ
x − v ≤ f (v).
Pour tout k, x − v ≥ x − x k − x k − v (toujours cette fichue inégalité
triangulaire) ; donc
f (x) +
ε
λ
x − x k −
ε
λ
x k − v ≤ f (v),
soit encore
f (x) +
ε
λ
x − x k ≤ f (v) +
ε
λ
x k − v
≤ f (x k ) puisque v ∈ S k .
En somme :
f (x) +
ε
λ
x − x k ≤ f (x k ) pour tout k,
ce qui revient à dire :
x ∈ S k pour tout k,
soit x ∈
+∞
k=0
S k = {v}, donc x = v.
On a donc démontré (2.7), c’est-à-dire que mis à part x = v,
f (x) +
ε
λ
x − v > f (v).
1.3 Compléments
• Le théorème d’Ekeland est un outil d’Analyse appliquée très puissant, aussi
puissant sans doute que "la technologie des approximations successives pour