1. PRINCIPE VARIATIONNEL D’EKELAND
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f (x k+1 ) − m k+1 ≤
1
2
[ f (x k ) + m k ] − m k =
1
2
[ f (x k ) − m k ] .
(P 4 ) Le diamètre de S k , δ k := diam(S k ), tend vers 0 quand k → +∞.
Par définition, δ k = sup
a,b∈S k
a − b.
Soit a ∈ S k . Par définition même de S k ,
f (a) +
ε
λ
a − x k ≤ f (x k ).
En conséquence,
m k +
ε
λ
a − x k ≤ f (x k ),
a − x k ≤
λ
ε
[ f (x k ) − m k ] .
En réitérant l’inégalité (2.5), il s’ensuit :
a − x k ≤
λ
ε
1
2 k [ f (x 0 ) − m 0 ] .
Si b est un autre élément (quelconque) de S k ,
a − b ≤ a − x k + x k − b ≤
λ
ε
1
2 k−1 [ f (x 0 ) − m 0 ] .
In fine,
δ k ≤
λ
ε
1
2 k−1 [ f (x 0 ) − m 0 ] ,
et δ k → 0 quand k → +∞.
Avec toutes ces propriétés énoncées de (S k ), on fait appel au lemme
rappelé en début de démonstration :
+∞
k=0
S k = {v}. Montrons que ce v fait
notre affaire, c’est-à-dire que les propriétés (i), (ii) et (iii) annoncées du théorème sont bel et bien vérifiées.
Propriété (i). Puisque v ∈ S 0 (forcément...),
f (v) +
ε
λ
v − u ≤ f (u)
de par la d´ efinition mˆ eme de S 0
,
(2.6)
d’où f (v) ≤ f (u).