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CHAPITRE 2. CONDITIONS D’OPTIMALITÉ APPROCHÉE
∀ x ∈ E, ϕ(v ε ) ≤ ϕ(x),
(2.3)
où ϕ(x) := f (x)+
ε
λ v ε − x. Ce qu’exprime (2.3) est que v ε est un minimiseur (global, d’ailleurs) de ϕ sur E. Mais on ne peut affirmer que Dϕ(v ε ) = 0
car ϕ n’est pas différentiable en v ε . Rappelons-nous (et revoyons sous forme
d’exercice si nécessaire) qu’une norme sur E (quelle qu’elle soit) n’est
jamais différentiable en 0. Exploitons néanmoins (2.3) avec divers choix
de x. Soit d = 0 dans E et α > 0 ; avec les choix successifs de x = v ε + α d
et de x = v ε − α d, on obtient à partir de (2.3) :
f (v ε + α d) − f (v ε ) ≥ −
√
ε α d ,
f (v ε − α d) − f (v ε ) ≥ −
√
ε α d ,
soit encore
f (v ε + α d) − f (v ε )
α
≥ −
√
ε d ,
f (v ε − α d) − f (v ε )
(−α)
≤
√
ε d .
Comme f est Gâteaux-différentiable en v ε , un passage à la limite, α → 0,
dans les deux inégalités au-dessus conduit à :
D G f (v ε ), d ≥ −
√
ε d ,
D G f (v ε ), d ≤
√
ε d ,
d’où
||D G f (v ε ), d| ≤
√
ε d .
Par conséquent,
D G f (v ε ) ∗ := sup
d∈ E
d≤1
||D G f (v ε ), d| ≤
√
ε. CQFD
Si on revient à l’exemple de mise en garde du début du paragraphe
(cf. page 27) : "en u minimiseur à ε = 10 −6 près de f , la dérivée n’est
pas petite... mais il y a un v pas trop loin de u, |v − u| ≤ 10 −3 , lui-même
minimiseur à 10 −6 près de f , en lequel la dérivée est petite, | f (v)| ≤ 10 −3
précisément...". Avouez que ça ne se devine pas !
1.2 La démonstration du théorème principal
Le résultat central qui va servir est le suivant ; on a tous fait cet exercice quand
on était petit...
CHAPITRE 2. CONDITIONS D’OPTIMALITÉ APPROCHÉE
∀ x ∈ E, ϕ(v ε ) ≤ ϕ(x),
(2.3)
où ϕ(x) := f (x)+
ε
λ v ε − x. Ce qu’exprime (2.3) est que v ε est un minimiseur (global, d’ailleurs) de ϕ sur E. Mais on ne peut affirmer que Dϕ(v ε ) = 0
car ϕ n’est pas différentiable en v ε . Rappelons-nous (et revoyons sous forme
d’exercice si nécessaire) qu’une norme sur E (quelle qu’elle soit) n’est
jamais différentiable en 0. Exploitons néanmoins (2.3) avec divers choix
de x. Soit d = 0 dans E et α > 0 ; avec les choix successifs de x = v ε + α d
et de x = v ε − α d, on obtient à partir de (2.3) :
f (v ε + α d) − f (v ε ) ≥ −
√
ε α d ,
f (v ε − α d) − f (v ε ) ≥ −
√
ε α d ,
soit encore
f (v ε + α d) − f (v ε )
α
≥ −
√
ε d ,
f (v ε − α d) − f (v ε )
(−α)
≤
√
ε d .
Comme f est Gâteaux-différentiable en v ε , un passage à la limite, α → 0,
dans les deux inégalités au-dessus conduit à :
D G f (v ε ), d ≥ −
√
ε d ,
D G f (v ε ), d ≤
√
ε d ,
d’où
||D G f (v ε ), d| ≤
√
ε d .
Par conséquent,
D G f (v ε ) ∗ := sup
d∈ E
d≤1
||D G f (v ε ), d| ≤
√
ε. CQFD
Si on revient à l’exemple de mise en garde du début du paragraphe
(cf. page 27) : "en u minimiseur à ε = 10 −6 près de f , la dérivée n’est
pas petite... mais il y a un v pas trop loin de u, |v − u| ≤ 10 −3 , lui-même
minimiseur à 10 −6 près de f , en lequel la dérivée est petite, | f (v)| ≤ 10 −3
précisément...". Avouez que ça ne se devine pas !
1.2 La démonstration du théorème principal
Le résultat central qui va servir est le suivant ; on a tous fait cet exercice quand
on était petit...