1. PRINCIPE VARIATIONNEL D’EKELAND
31
Lemme 2.4 Soit (S k ) une suite décroissante (au sens de l’inclusion) de
fermés de E (espace de Banach, donc complet ). On suppose que
diam(S k ) := sup
x,y∈ S k
x − y → 0 quand k → +∞.
Alors,
+∞
k=0
S k n’est pas vide et est réduit à un seul point (c’est ce qu’on appelle
un singleton).
On va construire de manière récursive une suite de points x k de E et une suite
de fermés (non vides) S k de E :
x 0 S 0
x 1 S 1
... x k S k
x k+1 . . .
(x k )
(S k )
Initialisation du processus :
x 0 := u, le minimiseur à ε près de f sur E figurant comme donnée première
du théorème.
S 0 :=
x ∈ E | f (x) +
ε
λ
x − x 0 ≤ f (u)
.
S 0 est un ensemble de sous-niveau de la fonction x → f (x) +
ε
λ
x − x 0 ,
laquelle est s.c.i. (somme d’une fonction s.c.i. et d’une fonction continue),
donc S 0 est fermé. De plus, S 0 n’est pas vide puisque x 0 ∈ S 0 .
Ayant x k , comment on définit S k
Ayant x k , on définit S k comme suit :
S k :=
x ∈ E | f (x) +
ε
λ
x − x k ≤ f (x k )
.
Pour les mêmes raisons que celles évoquées plus haut, pour k = 0, S k est un
fermé de E et il contient x k .
Ayant S k , comment on définit x k+1
Soit m k := inf
S k
f . Comme
−∞ < inf
E
f ≤ m k ≤ f (x k ) (< +∞),
il est loisible de choisir x k+1 ∈ S k tel que
f (x k+1 ) ≤
1
2
[ f (x k ) + m k ] .
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Lemme 2.4 Soit (S k ) une suite décroissante (au sens de l’inclusion) de
fermés de E (espace de Banach, donc complet ). On suppose que
diam(S k ) := sup
x,y∈ S k
x − y → 0 quand k → +∞.
Alors,
+∞
k=0
S k n’est pas vide et est réduit à un seul point (c’est ce qu’on appelle
un singleton).
On va construire de manière récursive une suite de points x k de E et une suite
de fermés (non vides) S k de E :
x 0 S 0
x 1 S 1
... x k S k
x k+1 . . .
(x k )
(S k )
Initialisation du processus :
x 0 := u, le minimiseur à ε près de f sur E figurant comme donnée première
du théorème.
S 0 :=
x ∈ E | f (x) +
ε
λ
x − x 0 ≤ f (u)
.
S 0 est un ensemble de sous-niveau de la fonction x → f (x) +
ε
λ
x − x 0 ,
laquelle est s.c.i. (somme d’une fonction s.c.i. et d’une fonction continue),
donc S 0 est fermé. De plus, S 0 n’est pas vide puisque x 0 ∈ S 0 .
Ayant x k , comment on définit S k
Ayant x k , on définit S k comme suit :
S k :=
x ∈ E | f (x) +
ε
λ
x − x k ≤ f (x k )
.
Pour les mêmes raisons que celles évoquées plus haut, pour k = 0, S k est un
fermé de E et il contient x k .
Ayant S k , comment on définit x k+1
Soit m k := inf
S k
f . Comme
−∞ < inf
E
f ≤ m k ≤ f (x k ) (< +∞),
il est loisible de choisir x k+1 ∈ S k tel que
f (x k+1 ) ≤
1
2
[ f (x k ) + m k ] .