1. PRINCIPE VARIATIONNEL D’EKELAND
29
(i) f (v) ≤ f (u) ;
(ii) v − u ≤ λ ;
(iii) ∀ x ∈ S, x = v, f (v) < f (x) +
ε
λ x − v.
La démonstration en est simple. Considérons ˜
f : E → R ∪ {+∞} définie
par ˜
f := f + i S (d’où ˜
f (x) = f (x) si x ∈ S, +∞ sinon). Il est clair que
minimiser f sur S (exactement ou à ε près) équivaut à minimiser ˜
f sur E
(exactement ou à ε près), car inf
S
f = inf
E
˜
f .
La fonction ˜
f , somme de la fonction continue f et de la fonction s.c.i. i S
(n’oublions pas que S a été supposé fermé), est s.c.i. sur E. D’après le théorème principal, il existe v ∈ E tel que :
(i) ˜
f (v) ≤ ˜
f (u) = f (u), donc ˜
f (v) < +∞, et v ∈ S, ˜
f (v) = f (v) ;
(ii) v − u ≤ λ (rien ne change ici) ;
(iii) f (v) = ˜
f (v) < ˜
f (x) +
ε
λ x − v pour tout x ∈ E, x = v,
soit encore
f (v) < f (x) +
ε
λ
x − v pour tout x ∈ S, x = v.
2 ´
eme illustration : Quand la différentiabilité entre en jeu.
Commençons par un exercice sous forme de challenge...
Soit f : R n → R une fonction différentiable et bornée inférieurement sur R n .
Alors, pour tout ε > 0, il existe x ε tel que ∇ f (x ε ) ≤ ε.
Comment démontreriez-vous ce résultat ? Pas facile, hein ?
Faisons donc entrer en jeu la différentiabilité dans la condition nécessaire
d’optimalité approchée d’Ekeland. Pour un aparté de révision sur les différentes notions de différentiabilité utiles, se reporter à l’Annexe.
Corollaire 2.3 Soit f : E → R continue et Gâteaux-différentiable sur E ;
on suppose de plus que f est bornée inférieurement sur E.
Pour un ε > 0 donné, soit u un minimiseur à ε près de f sur E. Alors il
existe v ε ∈ E tel que :
(i) f (v ε ) ≤ f (u) ;
(ii) v ε − u ≤
√
ε ;
(iii) D G f (v ε ) ∗ ≤
√
ε.
En raccourci cela donne : ∀ ε > 0, ∃ v ε tel que D G f (v ε ) ∗ ≤
√
ε ; ce qui
permet de résoudre l’exercice proposé au-dessus.
Démonstration du corollaire :
Seul le point (iii) est à démontrer. Nous savons que
29
(i) f (v) ≤ f (u) ;
(ii) v − u ≤ λ ;
(iii) ∀ x ∈ S, x = v, f (v) < f (x) +
ε
λ x − v.
La démonstration en est simple. Considérons ˜
f : E → R ∪ {+∞} définie
par ˜
f := f + i S (d’où ˜
f (x) = f (x) si x ∈ S, +∞ sinon). Il est clair que
minimiser f sur S (exactement ou à ε près) équivaut à minimiser ˜
f sur E
(exactement ou à ε près), car inf
S
f = inf
E
˜
f .
La fonction ˜
f , somme de la fonction continue f et de la fonction s.c.i. i S
(n’oublions pas que S a été supposé fermé), est s.c.i. sur E. D’après le théorème principal, il existe v ∈ E tel que :
(i) ˜
f (v) ≤ ˜
f (u) = f (u), donc ˜
f (v) < +∞, et v ∈ S, ˜
f (v) = f (v) ;
(ii) v − u ≤ λ (rien ne change ici) ;
(iii) f (v) = ˜
f (v) < ˜
f (x) +
ε
λ x − v pour tout x ∈ E, x = v,
soit encore
f (v) < f (x) +
ε
λ
x − v pour tout x ∈ S, x = v.
2 ´
eme illustration : Quand la différentiabilité entre en jeu.
Commençons par un exercice sous forme de challenge...
Soit f : R n → R une fonction différentiable et bornée inférieurement sur R n .
Alors, pour tout ε > 0, il existe x ε tel que ∇ f (x ε ) ≤ ε.
Comment démontreriez-vous ce résultat ? Pas facile, hein ?
Faisons donc entrer en jeu la différentiabilité dans la condition nécessaire
d’optimalité approchée d’Ekeland. Pour un aparté de révision sur les différentes notions de différentiabilité utiles, se reporter à l’Annexe.
Corollaire 2.3 Soit f : E → R continue et Gâteaux-différentiable sur E ;
on suppose de plus que f est bornée inférieurement sur E.
Pour un ε > 0 donné, soit u un minimiseur à ε près de f sur E. Alors il
existe v ε ∈ E tel que :
(i) f (v ε ) ≤ f (u) ;
(ii) v ε − u ≤
√
ε ;
(iii) D G f (v ε ) ∗ ≤
√
ε.
En raccourci cela donne : ∀ ε > 0, ∃ v ε tel que D G f (v ε ) ∗ ≤
√
ε ; ce qui
permet de résoudre l’exercice proposé au-dessus.
Démonstration du corollaire :
Seul le point (iii) est à démontrer. Nous savons que