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CHAPITRE 2. CONDITIONS D’OPTIMALITÉ APPROCHÉE
(la forme perturbée de f ).
Comme ϕ(v) = f (v), ce que dit (iii) n’est ni plus ni moins que
∀ x ∈ E, x = v, ϕ(v) < ϕ(x),
c’est-à-dire que v est un minimiseur global (strict) de ϕ sur E.
On notera que le u (de départ) a complètement disparu dans cette
formulation...
Un premier raccourci (d’utilisation du théorème) consiste à prendre λ = 1,
de sorte qu’on peut énoncer : Sous les hypothèses du théorème,
∀ ε > 0, ∃ v ε tel que
f (v ε ) < f (x) + ε x − v ε pour tout x ∈ E, x = v ε .
(2.2)
C’est un résultat (raccourci) auquel nous ferons appel de temps en temps.
Une deuxième variante consiste à faire un compromis entre ε et λ : on choisit
délibérément λ =
√
ε, ce qui fait que
ε
λ =
√
ε aussi. Cela donne donc :
Corollaire 2.2
ε > 0 étant donné, soit u un minimiseur à ε près de f sur E. Il existe
alors v ε ∈ E tel que :
(i) f (v ε ) ≤ f (u) (et donc ≤ f + ε) ;
(ii) v ε − u ≤
√ ε ;
(iii) ∀ x ∈ E, x = v ε , f (v ε ) < f (x) +
√
ε v − x.
Avant de faire la démonstration (complète) du théorème d’Ekeland, exposons
deux illustrations.
1 `
ere illustration : Problème de minimisation avec contraintes.
Considérons
(P)
Minimiser f (x),
x ∈ S,
où f : E → R est continue, S un fermé non vide de E (lequel est toujours
un Banach), et f est bornée inférieurement sur S (inf
S
f > −∞).
À ε > 0 fixé, on dit que u ∈ S est une solution à ε près de (P), ou bien est
un minimiseur à ε près de f sur S, lorsque f (u) ≤ inf
S
f + ε. La condition
nécessaire d’optimalité approchée, adaptée au présent contexte, donne ceci :
Soit u un ε minimiseur de f sur S. Alors, pour tout λ > 0, il existe v ∈ S tel
que :