1. PRINCIPE VARIATIONNEL D’EKELAND
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Un exemple introduction de mise en garde :
Ici f est dérivable sur R. Même si u est un minimiseur à ε près de f , avec ε
très petit, disons ε = 10 −6 , la dérivée de f en u peut être très grande,
disons | f (u)| = 10 12 !
Théorème 2.1 (I. Ekeland, 1974)
Pour ε > 0 une tolérance donnée, soit u un minimiseur à ε près de f
sur E, c’est-à-dire vérifiant f (u) ≤ f + ε.
Alors, pour tout λ > 0, il existe v ∈ E tel que :
(i) f (v) ≤ f (u) ;
(ii) v − u ≤ λ ;
(iii) ∀ x ∈ E, x = v, f (v) < f (x) +
ε
λ v − x.
Commentaires
• Il s’agit bien d’un théorème d’existence : "il existe v tel que...". Le v
exhibé dépend des choix précédents, on aurait pu noter v ε,u,λ .
• (i) implique que le v exhibé fait aussi bien que u puisque
f (v) ≤ f (u) ≤ f + ε,
v est aussi un minimiseur à ε près de f sur E.
• (ii) exprime que l’on contrôle la distance de v (exhibé) à u (donné au
départ), et cette distance, c’est nous qui la contrôlons puisque λ > 0 est
un choix libre de départ !
• Mais il faut compenser quelque part... plus λ est petit, plus grande est la
perturbation x →
ε
λ x − v qui apparaît dans la formulation (iii).
• (iii) exprime un résultat de minimisation (globale). En effet, soit
ϕ : E → R ∪ {+∞}
x → ϕ(x) := f (x) +
ε
λ
v − x .