26
CHAPITRE 2. CONDITIONS D’OPTIMALITÉ APPROCHÉE
1 Condition nécessaire d’optimalité approchée ou principe
variationnel d’EKELAND
1.1 Le théorème principal : énoncé, illustrations, variantes
Contexte :
(E, ·) est un espace de Banach
f : E → R ∪ {+∞}, non identiquement égale à +∞, bornée inférieurement
sur E
f est semicontinue inférieurement sur E.
Quelques commentaires sur ces hypothèses :
– On l’aura noté, le contexte est très général... on est loin de l’hypothèse de
différentiabilité sur f par exemple.
– On aurait pu prendre (E, d) espace métrique complet (et, de fait, certaines
applications de ce qu’on va exposer se font dans un tel contexte), mais on
a choisi (E, ·) Banach car cela allège l’écriture et nous replace dans un
contexte déjà étudié au Chapitre 1.
– f a été supposée bornée inférieurement, f := inf
E
f > −∞, c’est le
minimum pour pouvoir parler de u, solution (ou minimiseur de f ) à ε près
(pour ε > 0) :
inf
E
f ≤
f (u) ≤ inf
E
f + ε.
(2.1)
Notons que, contrairement à la minimisation exacte, l’existence de minimiseurs à ε près (pour ε > 0) ne pose aucun problème : il y a toujours des minimiseurs à ε près ! Cela résulte de la définition même de inf A lorsque A ⊂ R.
L’unicité des minimiseurs à ε près n’est pas un problème non plus, il y a,
généralement, une multitude de minimiseurs à ε près.
Une situation très particulière où ça n’est pas le cas est comme suit :
CHAPITRE 2. CONDITIONS D’OPTIMALITÉ APPROCHÉE
1 Condition nécessaire d’optimalité approchée ou principe
variationnel d’EKELAND
1.1 Le théorème principal : énoncé, illustrations, variantes
Contexte :
(E, ·) est un espace de Banach
f : E → R ∪ {+∞}, non identiquement égale à +∞, bornée inférieurement
sur E
f est semicontinue inférieurement sur E.
Quelques commentaires sur ces hypothèses :
– On l’aura noté, le contexte est très général... on est loin de l’hypothèse de
différentiabilité sur f par exemple.
– On aurait pu prendre (E, d) espace métrique complet (et, de fait, certaines
applications de ce qu’on va exposer se font dans un tel contexte), mais on
a choisi (E, ·) Banach car cela allège l’écriture et nous replace dans un
contexte déjà étudié au Chapitre 1.
– f a été supposée bornée inférieurement, f := inf
E
f > −∞, c’est le
minimum pour pouvoir parler de u, solution (ou minimiseur de f ) à ε près
(pour ε > 0) :
inf
E
f ≤
f (u) ≤ inf
E
f + ε.
(2.1)
Notons que, contrairement à la minimisation exacte, l’existence de minimiseurs à ε près (pour ε > 0) ne pose aucun problème : il y a toujours des minimiseurs à ε près ! Cela résulte de la définition même de inf A lorsque A ⊂ R.
L’unicité des minimiseurs à ε près n’est pas un problème non plus, il y a,
généralement, une multitude de minimiseurs à ε près.
Une situation très particulière où ça n’est pas le cas est comme suit :