Chapitre 2
CONDITIONS NÉCESSAIRES
D’OPTIMALITÉ APPROCHÉE
"Good modern science implies good variational problems."
M. S. Berger (1983)
"Nous devons nous contenter d’améliorer indéfiniment nos
approximations." K. Popper (1984)
Une condition nécessaire d’optimalité standard affirme que si f : E →
R ∪ {+∞} est minimisée en x et que f est différentiable en x (de différentielle D f (x)), alors D f (x) = 0. La situation que l’on va examiner dans ce
chapitre est celle où il n’y a pas (nécessairement) de minimiseurs de f sur E
mais seulement des minimiseurs approchés, disons à ε près,
f (u) ≤ inf
E
f + ε.
Que peut-on dire en de tels u ? Une première tentation – mauvaise – est de
penser que D f (u) y est "petit", disons D f (u) ∗ ≤ ε... Il n’en est rien,
mais nous verrons que nous pouvons dire des choses en u, des conditions
nécessaires d’optimalité approchée.
Points d’appui / Prérequis :
• Bases du calcul différentiel (dans les espaces de Banach)
• Rudiments d’analyse dans les espaces de Banach, de Hilbert.
J.-B. Hiriart-Urruty, Bases, outils et principes pour l’analyse variationnelle,
2 5
Mathématiques et Applications 70, DOI: 10.1007/978-3-642-30735-5_2,
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013
CONDITIONS NÉCESSAIRES
D’OPTIMALITÉ APPROCHÉE
"Good modern science implies good variational problems."
M. S. Berger (1983)
"Nous devons nous contenter d’améliorer indéfiniment nos
approximations." K. Popper (1984)
Une condition nécessaire d’optimalité standard affirme que si f : E →
R ∪ {+∞} est minimisée en x et que f est différentiable en x (de différentielle D f (x)), alors D f (x) = 0. La situation que l’on va examiner dans ce
chapitre est celle où il n’y a pas (nécessairement) de minimiseurs de f sur E
mais seulement des minimiseurs approchés, disons à ε près,
f (u) ≤ inf
E
f + ε.
Que peut-on dire en de tels u ? Une première tentation – mauvaise – est de
penser que D f (u) y est "petit", disons D f (u) ∗ ≤ ε... Il n’en est rien,
mais nous verrons que nous pouvons dire des choses en u, des conditions
nécessaires d’optimalité approchée.
Points d’appui / Prérequis :
• Bases du calcul différentiel (dans les espaces de Banach)
• Rudiments d’analyse dans les espaces de Banach, de Hilbert.
J.-B. Hiriart-Urruty, Bases, outils et principes pour l’analyse variationnelle,
2 5
Mathématiques et Applications 70, DOI: 10.1007/978-3-642-30735-5_2,
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013