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CHAPITRE 1. PROLÉGOMÈNES. RÉSULTATS FONDAMENTAUX
Exercice 12 (Quand un théorème de séparation se fait piéger)
Soit A := co
1 0
−2 −1
,
1 0
2 −1
,
−1 −2
0 1
,
−1 2
0 1
, polyèdre
convexe compact de M 2 (R). On se pose la question suivante :
(Q)
M ∈ M 2 (R)
M x ∈ A x pour tout x ∈ R 2
?
⇒ (M ∈ A ).
1. Vérifier que A =
t r
s −t
| t ∈ [−1, +1] , (r, s) ∈ [−2, +2] 2
.
2. Montrer à l’aide d’un exemple que la réponse à (Q) est non. (Indication :
Prendre M =
1 0
0 1
).
3. Quel commentaire vous inspire le résultat de cet exercice (à propos de la
séparation de M et du convexe compact A ) ?
Références
[A] D. Azé. Éléments d’analyse convexe et variationnelle. Éditions Ellipses,
Paris, 1997.
[B] H. Brézis. Analyse fonctionnelle. Éditions Dunod, 2005.
[D] B. Dacorogna. Direct methods in the calculus of variations. (2 nd edition),
Springer Verlag, 2008.
[H] G. Helmberg. "Curiosities concerning weak topology in Hilbert space".
Amer. Math. Monthly 113 (2006), p. 447–452.
[ABM] H. Attouch, G. Buttazzo et G. Michaille. Variational analysis in
Sobolev and BV spaces. MPS-SIAM Series on Optimization, 2005.
[B], réédité plusieurs fois, illustre l’art du raccourci et de la synthèse dans la
présentation et la démonstration des résultats.
[A] est une référence appropriée pour ce chapitre ; nous nous y référerons
également plus loin, à l’occasion du chapitre sur "l’analyse convexe opératoire".
[A] et [B] sont de niveau M1, ce qui n’empêche pas qu’on peut s’y pencher
en M2.
[ABM] et [D] sont d’un niveau plus élevé (carrément M2), et abordent chacun
des aspects plus particuliers de l’analyse variationnelle. Ce sont des livres de
référence, trop volumineux pour un seul enseignement (de M2).
CHAPITRE 1. PROLÉGOMÈNES. RÉSULTATS FONDAMENTAUX
Exercice 12 (Quand un théorème de séparation se fait piéger)
Soit A := co
1 0
−2 −1
,
1 0
2 −1
,
−1 −2
0 1
,
−1 2
0 1
, polyèdre
convexe compact de M 2 (R). On se pose la question suivante :
(Q)
M ∈ M 2 (R)
M x ∈ A x pour tout x ∈ R 2
?
⇒ (M ∈ A ).
1. Vérifier que A =
t r
s −t
| t ∈ [−1, +1] , (r, s) ∈ [−2, +2] 2
.
2. Montrer à l’aide d’un exemple que la réponse à (Q) est non. (Indication :
Prendre M =
1 0
0 1
).
3. Quel commentaire vous inspire le résultat de cet exercice (à propos de la
séparation de M et du convexe compact A ) ?
Références
[A] D. Azé. Éléments d’analyse convexe et variationnelle. Éditions Ellipses,
Paris, 1997.
[B] H. Brézis. Analyse fonctionnelle. Éditions Dunod, 2005.
[D] B. Dacorogna. Direct methods in the calculus of variations. (2 nd edition),
Springer Verlag, 2008.
[H] G. Helmberg. "Curiosities concerning weak topology in Hilbert space".
Amer. Math. Monthly 113 (2006), p. 447–452.
[ABM] H. Attouch, G. Buttazzo et G. Michaille. Variational analysis in
Sobolev and BV spaces. MPS-SIAM Series on Optimization, 2005.
[B], réédité plusieurs fois, illustre l’art du raccourci et de la synthèse dans la
présentation et la démonstration des résultats.
[A] est une référence appropriée pour ce chapitre ; nous nous y référerons
également plus loin, à l’occasion du chapitre sur "l’analyse convexe opératoire".
[A] et [B] sont de niveau M1, ce qui n’empêche pas qu’on peut s’y pencher
en M2.
[ABM] et [D] sont d’un niveau plus élevé (carrément M2), et abordent chacun
des aspects plus particuliers de l’analyse variationnelle. Ce sont des livres de
référence, trop volumineux pour un seul enseignement (de M2).