EXERCICES
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Exercice 9 (La méthode directe en Calcul des variations)
Le problème du Calcul des variations considéré est celui de la minimisation
de
I (x) :=
1
0
f (t, x(t)) dt +
1
0
g(t, x
(t)) dt,
sous les hypothèses suivantes :
(i) f (t, u) et g(t, v) sont des fonctions continues (des deux variables) et
bornées inférieurement.
(ii) g(t, ·) est convexe pour tout t, et minorée par une fonction quadratique
de v (i.e., il existe α > 0 et β tels que g(t, v) ≥ α v 2 + β).
L’ensemble sur lequel on minimise I est
X =
x(·) ∈ H
1
(0, 1) | x(0) = a et x(1) = b
,
où a et b sont donnés.
Montrer qu’il existe x(·) ∈ X minimisant I sur X .
Exercice 10 (Produit scalaire vs. produit usuel de matrices symétriques)
Soit A et B deux matrices symétriques. On suppose que A est soit semidéfinie
positive, soit semidéfinie négative. Montrer l’équivalence
(tr(AB) = 0) ⇔ (A.B = 0) .
Hint : Use the following trick
tr(AB) = tr(A
1/2 A
1/2 B
1/2 B
1/2
) = · · · =
A
1/2 B
1/2
2 .
Exercice 11 (Caractérisation de la positivité d’une fonction quadratique
sur R n )
Soit A ∈ S n (R), b ∈ R n , c ∈ R, et
q : x ∈ R
n
→ q(x) := =Ax, x + 2b, x + c
la fonction quadratique sur R n associée à ces données.
Montrer l’équivalence suivante :
(q(x) ≥ 0 pour tout x ∈ R
n
) ⇔
ˆ
A :=
c b T
b A
est semid´ efinie positive
.
Hint : Passer par la forme quadratique ˆ
q sur R n+1 définie comme suit :
(x, t) ∈ R
n
× R → ˆ
q(x, t) := =Ax, x + 2b, xt + ct
2
(forme homogénéisée de la fonction quadratique q).