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CHAPITRE 1. PROLÉGOMÈNES. RÉSULTATS FONDAMENTAUX
l(x, ˙
x) = l(
z 2
2
, z ˙
z) =
2
z −2 + ˙
z 2
.
Le problème du brachystochrone est alors équivalent à
( ˆ
P) min
z∈ ˆ
a
0
ˆ
l(z, ˙
z) dt
où ˆ
l(z, v) =
z −2 + v 2 et ˆ
= {
√
2x | x ∈ } est l’ensemble des fonctions z ∈ C ([0, a] , R) ∩ C 1 (]0, a[ , R) telles que :
z(0) = 0, z(a) =
√
2, z(t) > 0 sur ]0, a[ et ˆ
J (z) < +∞,
avec ˆ
J (z) =
a
0
ˆ
l(z, ˙
z) dt.
Il est alors clair que y ∈ est solution de (P) si et seulement si z =
2y
est solution de ( ˆ
P).
a) Montrez que la fonction ˆ
l est convexe. (On pourra observer que ˆ
l vérifie ˆ
l(z, v) =
(z −1 , v)
).
b) Soit x 0 (·) ∈ la solution de
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
d
dt
∂l
∂u
(x 0 (t), ˙
x 0 (t))
=
∂l
∂ x
(x 0 (t), ˙
x 0 (t)) sur [0, a] ,
(x 0 (0), x 0 (a)) = (0, 1) .
Montrez que z 0 (·) =
2x 0 (·) est solution de
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
d
dt
∂ ˆ
l
∂v
(z 0 (t), ˙
z 0 (t))
=
∂ ˆ
l
∂z
(z 0 (t), ˙
z 0 (t)) sur [0, a] ,
(z 0 (0), z 0 (a)) =
0,
√
2
.
(1.15)
c) Montrez que
∂ ˆ
l
∂z
(z, v)
≤ z −1 ≤ ˆ
l(z, v) et que
∂ ˆ
l
∂v
(z, v)
≤ 1. En
déduire, en intégrant l’inégalité
ˆ
l(z, ˙
z) − ˆ
l(z 0 , ˙
z 0 ) ≥
∂ ˆ
l
∂z
(z 0 , ˙
z 0 ) (z − z 0 ) +
∂ ˆ
l
∂v
(z 0 , ˙
z 0 ) (˙ z − ˙
z 0 )
et en utilisant (1.15), que z 0 (·) réalise le minimum de ( ˆ
P).