EXERCICES
21
Q K (x) :=
y ∈ K
x − y = sup
y∈ K
x − y
(Q K (x) est la partie de K constituée des points les plus éloignés de x dans K ).
Montrer que si Q K (x) est réduit à un seul élément pour tout x ∈ E, alors K
lui-même est un singleton.
Indication : On pourra appliquer un théorème de point fixe à l’application q K issue de Q K (x) = {q K (x)}.
Exercice 8 (Le problème variationnel du brachystochrone ; transformation en un problème de minimisation convexe)
Le problème classique de la courbe brachystochrone (ou du brachystochrone)
consiste à chercher la courbe dans un plan vertical sur laquelle un point matériel soumis à la seule action de la pesanteur passe en un temps minimum
d’un point à un autre de ce plan. Après normalisation ce problème prend la
forme :
(P) min
x∈
a
0
l(x(t), ˙
x(t)) dt
où l :]0, +∞[×R → R est définie par :
l(x, u) =
√
1 + u 2
√
x
,
et est l’ensemble des fonctions x(·) ∈ C ([0, a], R) ∩ C 1 (]0, a[, R) telles
que :
x(0) = 0, x(a) = 1, et x(t) > 0 sur ]0, a[.
On définit de plus J (x) :=
a
0
l(x(t), ˙
x(t)) dt.
La condition classique nécessaire d’optimalité d’Euler- Lagrange s’écrirait dans notre cas
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
d
dt
∂l
∂u
(x 0 (t), ˙
x 0 (t))
=
∂l
∂ x
(x 0 (t), ˙
x 0 (t)) sur [0, a] ,
(x 0 (0), x 0 (a)) = (0, 1) .
(1.14)
On remarque qu’elle ne s’applique pas dans le cas du brachystochrone à
cause de la singularité de la fonction l(x, u) en x = 0. Dans cet exercice,
nous allons établir que la solution x 0 ∈ de (1.14) est solution du problème
du brachystochrone. On fait le changement de fonction inconnue z =
√
2x.
On a
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Q K (x) :=
y ∈ K
x − y = sup
y∈ K
x − y
(Q K (x) est la partie de K constituée des points les plus éloignés de x dans K ).
Montrer que si Q K (x) est réduit à un seul élément pour tout x ∈ E, alors K
lui-même est un singleton.
Indication : On pourra appliquer un théorème de point fixe à l’application q K issue de Q K (x) = {q K (x)}.
Exercice 8 (Le problème variationnel du brachystochrone ; transformation en un problème de minimisation convexe)
Le problème classique de la courbe brachystochrone (ou du brachystochrone)
consiste à chercher la courbe dans un plan vertical sur laquelle un point matériel soumis à la seule action de la pesanteur passe en un temps minimum
d’un point à un autre de ce plan. Après normalisation ce problème prend la
forme :
(P) min
x∈
a
0
l(x(t), ˙
x(t)) dt
où l :]0, +∞[×R → R est définie par :
l(x, u) =
√
1 + u 2
√
x
,
et est l’ensemble des fonctions x(·) ∈ C ([0, a], R) ∩ C 1 (]0, a[, R) telles
que :
x(0) = 0, x(a) = 1, et x(t) > 0 sur ]0, a[.
On définit de plus J (x) :=
a
0
l(x(t), ˙
x(t)) dt.
La condition classique nécessaire d’optimalité d’Euler- Lagrange s’écrirait dans notre cas
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
d
dt
∂l
∂u
(x 0 (t), ˙
x 0 (t))
=
∂l
∂ x
(x 0 (t), ˙
x 0 (t)) sur [0, a] ,
(x 0 (0), x 0 (a)) = (0, 1) .
(1.14)
On remarque qu’elle ne s’applique pas dans le cas du brachystochrone à
cause de la singularité de la fonction l(x, u) en x = 0. Dans cet exercice,
nous allons établir que la solution x 0 ∈ de (1.14) est solution du problème
du brachystochrone. On fait le changement de fonction inconnue z =
√
2x.
On a