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CHAPITRE 1. PROLÉGOMÈNES. RÉSULTATS FONDAMENTAUX
Démontrer les propriétés 1, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 12. Pour démontrer une
propriété N , on pourra utiliser les propriétés 1, 2,..., N − 1.
Exercice 5 (Obstacles empêchant une suite faiblement convergente de
converger (fortement) : oscillations, concentration, évanescence)
En prenant l’exemple de L 2 (I ), I intervalle de R, structuré en espace de
Hilbert grâce au produit scalaire
f, g :=
I
f (x)g(x) dx,
nous allons considérer trois situations typiques où (u n ) ⊂ L 2 (I ) converge
faiblement vers 0 mais ne converge pas fortement vers 0.
• Oscillations. Soit I = ]0, π[, u n ∈ L 2 (I ) définie par :
u n (x) =
2
π
sin(nx).
• Concentration. Soit I =
−
π
2
,
π
2
, u n ∈ L 2 (I ) définie comme suit :
u n (x) =
√
n si −
1
2n
≤ x ≤
1
2n
,
0 sinon.
• Evanescence. Soit I = R, u n ∈ L 2 (I ) définie ci-dessous :
u n (x) =
√
n si −
1
2n
≤ x ≤ n +
1
2n
,
0 sinon.
Dans les trois cas, montrer que u n 0 dans L 2 (I ) mais que u n 0
dans L 2 (I ).
Exercice 6 (L’inégalité d’Opial)
Soit H un espace de Hilbert : ·, ·· y désigne le produit scalaire et · la norme
associée. On suppose que la suite (u n ) de H converge faiblement vers u ∈ H .
Montrer que pour tout v ∈ H , distinct de u, on a
lim inf
n→+∞
u n − v > lim inf
n→+∞
u n − u .
Exercice 7 (Le problème des points les plus éloignés, dans un Banach)
Soit K un compact non vide dans l’espace de Banach (E, ·).
Pour tout x ∈ E, on pose
CHAPITRE 1. PROLÉGOMÈNES. RÉSULTATS FONDAMENTAUX
Démontrer les propriétés 1, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 12. Pour démontrer une
propriété N , on pourra utiliser les propriétés 1, 2,..., N − 1.
Exercice 5 (Obstacles empêchant une suite faiblement convergente de
converger (fortement) : oscillations, concentration, évanescence)
En prenant l’exemple de L 2 (I ), I intervalle de R, structuré en espace de
Hilbert grâce au produit scalaire
f, g :=
I
f (x)g(x) dx,
nous allons considérer trois situations typiques où (u n ) ⊂ L 2 (I ) converge
faiblement vers 0 mais ne converge pas fortement vers 0.
• Oscillations. Soit I = ]0, π[, u n ∈ L 2 (I ) définie par :
u n (x) =
2
π
sin(nx).
• Concentration. Soit I =
−
π
2
,
π
2
, u n ∈ L 2 (I ) définie comme suit :
u n (x) =
√
n si −
1
2n
≤ x ≤
1
2n
,
0 sinon.
• Evanescence. Soit I = R, u n ∈ L 2 (I ) définie ci-dessous :
u n (x) =
√
n si −
1
2n
≤ x ≤ n +
1
2n
,
0 sinon.
Dans les trois cas, montrer que u n 0 dans L 2 (I ) mais que u n 0
dans L 2 (I ).
Exercice 6 (L’inégalité d’Opial)
Soit H un espace de Hilbert : ·, ·· y désigne le produit scalaire et · la norme
associée. On suppose que la suite (u n ) de H converge faiblement vers u ∈ H .
Montrer que pour tout v ∈ H , distinct de u, on a
lim inf
n→+∞
u n − v > lim inf
n→+∞
u n − u .
Exercice 7 (Le problème des points les plus éloignés, dans un Banach)
Soit K un compact non vide dans l’espace de Banach (E, ·).
Pour tout x ∈ E, on pose