EXERCICES
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Exercice 4 (Convergence faible vs. convergence forte d’une suite dans un
espace de Hilbert. Aspect variationnel du théorème de représentation de
Riesz)
Soit (H, ·, ··) un espace de Hilbert ; on désigne par · la norme associée au
produit scalaire ·, ··. On dit qu’une suite (u n ) de H
• converge fortement vers u dans H lorsque u n − u → 0
• converge faiblement vers u dans H lorsque u n , v → →u, v, pour tout v
dans H . On écrit alors u n u.
Propriétés.
1. Si u n u et u n u , alors u = u (si la limite faible de (u n ) existe,
elle est unique).
2. La convergence forte implique la convergence faible.
3. (u n → u) ⇔ (u n u et u n → u).
4. Toute suite faiblement convergente est (fortement) bornée.
5. Si u n → u et v n → v, alors u n , v n → →u, v.
6. Toute suite bornée contient une sous-suite faiblement convergente.
7. Si A est linéaire continue de H 1 dans H 2 , H 1 et H 2 espaces de Hilbert,
et si u n u dans H 1 , alors Au n Au dans H 2 .
8. Si u n u, il existe une sous-suite (u k n ) de (u n ) telle que
u k 1 + u k 2 + ... + u k n
n
→ u quand n → +∞.
9. Si (u n ) est bornée dans H et si u n , w → →u, w pour tout w dans une
partie dense de H , alors u n u.
10. Si u n u, alors u ≤ lim inf
n→+∞
u n .
11. Soit C convexe fermé borné de H et soit f : H → R convexe continue.
Alors f est bornée inférieurement sur C et cette borne inférieure est
atteinte : il existe u ∈ C tel que
f (u) = inf
u∈ C
f (u).
12. Aspect variationnel du théorème de représentation de Riesz.
Soit l une forme linéaire continue sur H et soit θ : H → R définie par
θ(h) :=
h 2
2
− l(h).
Alors il existe un et un seul minimiseur de θ , noté u ∈ H , vérifiant de
plus :
∀ h ∈ H, l(h) = =u, h.
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Exercice 4 (Convergence faible vs. convergence forte d’une suite dans un
espace de Hilbert. Aspect variationnel du théorème de représentation de
Riesz)
Soit (H, ·, ··) un espace de Hilbert ; on désigne par · la norme associée au
produit scalaire ·, ··. On dit qu’une suite (u n ) de H
• converge fortement vers u dans H lorsque u n − u → 0
• converge faiblement vers u dans H lorsque u n , v → →u, v, pour tout v
dans H . On écrit alors u n u.
Propriétés.
1. Si u n u et u n u , alors u = u (si la limite faible de (u n ) existe,
elle est unique).
2. La convergence forte implique la convergence faible.
3. (u n → u) ⇔ (u n u et u n → u).
4. Toute suite faiblement convergente est (fortement) bornée.
5. Si u n → u et v n → v, alors u n , v n → →u, v.
6. Toute suite bornée contient une sous-suite faiblement convergente.
7. Si A est linéaire continue de H 1 dans H 2 , H 1 et H 2 espaces de Hilbert,
et si u n u dans H 1 , alors Au n Au dans H 2 .
8. Si u n u, il existe une sous-suite (u k n ) de (u n ) telle que
u k 1 + u k 2 + ... + u k n
n
→ u quand n → +∞.
9. Si (u n ) est bornée dans H et si u n , w → →u, w pour tout w dans une
partie dense de H , alors u n u.
10. Si u n u, alors u ≤ lim inf
n→+∞
u n .
11. Soit C convexe fermé borné de H et soit f : H → R convexe continue.
Alors f est bornée inférieurement sur C et cette borne inférieure est
atteinte : il existe u ∈ C tel que
f (u) = inf
u∈ C
f (u).
12. Aspect variationnel du théorème de représentation de Riesz.
Soit l une forme linéaire continue sur H et soit θ : H → R définie par
θ(h) :=
h 2
2
− l(h).
Alors il existe un et un seul minimiseur de θ , noté u ∈ H , vérifiant de
plus :
∀ h ∈ H, l(h) = =u, h.