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CHAPITRE 1. PROLÉGOMÈNES. RÉSULTATS FONDAMENTAUX
◦ Vérifier que la fonction x = 0 →
x
x
vérifie une condition de
Lipschitz sur := {x ∈ X | x ≥ 1} avec une constante de Lipschitz
égale à 2.
Avec l’exemple de X = R 2 et · = · ∞ , montrer qu’on ne peut pas
faire mieux que 2 comme constante de Lipschitz.
2) Inégalité de Dunkl- Williams (1964)
On suppose ici que (X, ·, ··) est préhilbertien, la norme · sur X étant
celle déduite du produit scalaire ·, ··, c’est-à-dire x =
√ x, x.
Montrer
x
x
−
y
y
≤
2
x + y
x − y
(1.11)
avec égalité si et seulement si : x = y ou
x
x
= −
y
y
.
3) Inégalité de Milagranda (2006)
Montrer
x + y ≤ x + y − [2 − α (x, −y)] min (x , y) , (1.12)
x + y ≥ x + y − [2 − α (x, −y)] max (x , y) , (1.13)
où α (x, −y) :=
x
x
+
y
y
.
Commentaire : (1.12) et (1.13) sont les meilleurs raffinements de l’inégalité
triangulaire qui soient connus à ce jour.
Exercice 2 (Norme dérivée d’un produit scalaire)
Donner au moins une façon de caractériser une norme dérivée d’un produit
scalaire.
Hint : L’égalité dite du parallélogramme, ou caractérisation de P. Jordan
et J. von Neumann (1935).
Exercice 3 Soit a < b, A et B deux réels quelconques, et :
X :=
f ∈ C 2 (R) | f (a) = A et f (b) = B
,
I : f ∈ X → I ( f ) :=
b
a
f
2
(t) + f
2
(t)
dt.
Par de simples calculs "à la main", montrer que I est bornée inférieurement
sur X et qu’il existe un et un seul élément ¯
f ∈ X tel que I ( ¯
f ) = inf
f ∈ X
I ( f ).
Hint : Utiliser la fonction ¯
f , unique solution de
f
− f = 0, f (a) = A, f (b) = B.