3. LE CHOIX DES TOPOLOGIES
17
Alors, f est bornée inférieurement sur C et il existe x ∈ C tel que
f (x) = inf
x∈ C
f (x).
L’hypothèse (1.8) de "forçage à l’infini" (lorsque C n’est pas borné) est
appelée la 0-coercivité de f sur C. Ce qui coûte cher dans ce théorème sont
les hypothèses de convexité.
Illustrons le théorème au-dessus avec un exemple classique (démontré
autrement, habituellement) : l’existence de la projection sur un convexe fermé
d’un espace de Hilbert.
Soit (H, ·, ··) un espace de Hilbert, soit C ⊂ H un convexe fermé non vide.
Pour u ∈ H donné, il existe x ∈ C tel que
u − x = inf
x∈ C
u − x .
(1.9)
Pour cela, on minimise f u : x ∈ H → f u (x) := u − x sur C.
Comme f u est convexe continue sur H , 0-coercive sur C , que C est convexe
fermé non vide dans H (qui est réflexif), l’existence de x dans (1.9) est
assurée. L’unicité d’un tel x, noté usuellement x = p C (u), est une autre
affaire : elle résulte d’une propriété particulière de la norme ·. On reviendra
abondamment sur ces questions de projections sur des convexes fermés au
Chapitre 3.
Exercices
Exercice 1 (Inégalités sur les normes)
Soit (X, ·), un espace vectoriel normé. Soit x et y non nuls dans X .
1) Inégalité de Massera- Schäffer (1958)
◦ Montrer
x
x
−
y
y
≤
2
max (x , y)
x − y .
(1.10)
◦ Vérifier que si
x
x
−
y
y
≤
k
max (x , y)
x − y pour tous x, y = 0 dans X,
alors 2 ≤ k (c’est-à-dire qu’on ne peut pas faire mieux que 2 dans une
inégalité comme (1.10)).
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Alors, f est bornée inférieurement sur C et il existe x ∈ C tel que
f (x) = inf
x∈ C
f (x).
L’hypothèse (1.8) de "forçage à l’infini" (lorsque C n’est pas borné) est
appelée la 0-coercivité de f sur C. Ce qui coûte cher dans ce théorème sont
les hypothèses de convexité.
Illustrons le théorème au-dessus avec un exemple classique (démontré
autrement, habituellement) : l’existence de la projection sur un convexe fermé
d’un espace de Hilbert.
Soit (H, ·, ··) un espace de Hilbert, soit C ⊂ H un convexe fermé non vide.
Pour u ∈ H donné, il existe x ∈ C tel que
u − x = inf
x∈ C
u − x .
(1.9)
Pour cela, on minimise f u : x ∈ H → f u (x) := u − x sur C.
Comme f u est convexe continue sur H , 0-coercive sur C , que C est convexe
fermé non vide dans H (qui est réflexif), l’existence de x dans (1.9) est
assurée. L’unicité d’un tel x, noté usuellement x = p C (u), est une autre
affaire : elle résulte d’une propriété particulière de la norme ·. On reviendra
abondamment sur ces questions de projections sur des convexes fermés au
Chapitre 3.
Exercices
Exercice 1 (Inégalités sur les normes)
Soit (X, ·), un espace vectoriel normé. Soit x et y non nuls dans X .
1) Inégalité de Massera- Schäffer (1958)
◦ Montrer
x
x
−
y
y
≤
2
max (x , y)
x − y .
(1.10)
◦ Vérifier que si
x
x
−
y
y
≤
k
max (x , y)
x − y pour tous x, y = 0 dans X,
alors 2 ≤ k (c’est-à-dire qu’on ne peut pas faire mieux que 2 dans une
inégalité comme (1.10)).