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CHAPITRE 1. PROLÉGOMÈNES. RÉSULTATS FONDAMENTAUX
3.4 L’apport de la séparabilité
E, disons un espace vectoriel normé, est dit séparable s’il existe une partie
dénombrable ⊂ E partout dense dans E (i.e., = E). Que vient faire
la séparabilité dans cette galère (des topologies faibles) ? En gros, vite dit :
la séparabilité apporte la métrisabilité des topologies faibles ; "Si E est un
espace de Banach séparable, alors la boule unité B ∗ de E ∗ est métrisable
pour la topologie σ (E ∗ , E) (i.e., il existe une distance d définie sur B ∗ telle
que la topologie définie via d coïncide avec la topologie σ (E ∗ , E) sur B ∗ )".
L ∞ est l’archétype d’espace fonctionnel non séparable.
Séparabilité de E vs. séparabilité de E ∗ :
Soit E un espace de Banach. Alors :
•
E ∗ s´ eparable
⇒
E s´ eparable
.
(L 1 est séparable, L ∞ ne l’est pas ; l’implication réciproque est donc
fausse).
•
E ∗ r´ eflexif et s´ eparable
⇔
E r´ eflexif et s´ eparable
.
Retenons deux techniques d’extraction de sous-suites, fort utiles dans les
démonstrations :
• Dans E espace de Banach réflexif (espace de Hilbert par exemple), de
toute suite bornée (x k ) de E, on peut extraire une sous-suite qui converge
pour σ (E, E ∗ ).
• Si E est un espace de Banach séparable, de toute suite fortement bornée
de E ∗ , on peut extraire une sous-suite qui converge faiblement-∗ (i.e.,
pour la topologie σ (E ∗ , E)).
3.5 Un théorème fondamental d’existence en présence de convexité
Les espaces de Banach réflexifs (les espaces de Hilbert notamment) et les
fonctions convexes s.c.i. jouent des rôles pivots dans l’étude de problèmes
variationnels. Le théorème d’existence qui suit est le pendant convexe du
théorème d’existence présenté au § 2.3.
Théorème 1.18 (d’existence, en présence de convexité)
Soit E un espace de Banach réflexif (de Hilbert par exemple) ; soit C ⊂ E
convexe fermé non vide, soit f : E → R ∪ {+∞} convexe s.c.i. sur E. On
suppose :
soit C est born´ e, soit lim
x→+∞
x∈ C
f (x) = +∞.
(1.8)