3. LE CHOIX DES TOPOLOGIES
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Rappelons que pour appliquer le théorème d’existence de solutions, nous
sommes à la recherche de compacts (cf. § 1.2.3). Dans E ∗ , contexte de travail
de ce sous-paragraphe, les choses se sont éclaircies avec l’entrée en jeu de
la topologie faible-∗. Tout d’abord, une limitation, (lorsque l’espace est de
dimension infinie) : la boule unité de E ∗ , B ∗ = {x ∗ ∈ E ∗ | x ∗ ∗ ≤ 1} n’est
jamais compacte. . . En contrepartie :
Théorème 1.17 (Compacité (Banach-Alaoglu-Bourbaki))
La boule unité de E ∗ , définie comme suit :
B ∗ =
x
∗
∈ E
∗
|
x
∗
∗
≤ 1
est compacte pour la topologie faible-∗.
Question : qui était Alaoglu 3 ?
Sur le versant E (et non E ∗ ), la boule unité B = {x ∈ E | x ≤ 1} est
compacte pour σ (E, E ∗ ) dès lors que E est réflexif.
Pour terminer avec E ∗ , insistons sur les deux points-résumés que voici :
– Il y a deux topologies essentielles sur E ∗ : la topologie forte (dont
le marqueur est · ∗ ) et la topologie faible-∗
(E, ·)
(·) ∗
# #
(E ∗ , · ∗ )
E
(E ∗ , σ (E ∗ , E))
(·) ∗
c c
– Il y a deux types de convexes fermés dans E ∗ : les convexes fermés
pour la topologie forte et les convexes fermés pour la topologie
faible-∗.
Ceci est d’importance car, en analyse et calcul variationnels (en différentiation généralisée notamment), ce sont des ensembles (convexes) de E ∗ que
nous considérons.
3 L. Alaoglu (1914-1981) est un mathématicien d’origine grecque. Ses travaux de thèse (“Weak
topologies of normed linear spaces”, 1938) sont à l’origine du théorème invoqué ici. Quant à
Bourbaki, je dois être un des seuls mathématiciens à avoir joué au football contre l’équipe de
(et sur le stade de) Bourbaki, à Pau près de l’université. Pour être complet, il faudrait parler
de Banach...
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Rappelons que pour appliquer le théorème d’existence de solutions, nous
sommes à la recherche de compacts (cf. § 1.2.3). Dans E ∗ , contexte de travail
de ce sous-paragraphe, les choses se sont éclaircies avec l’entrée en jeu de
la topologie faible-∗. Tout d’abord, une limitation, (lorsque l’espace est de
dimension infinie) : la boule unité de E ∗ , B ∗ = {x ∗ ∈ E ∗ | x ∗ ∗ ≤ 1} n’est
jamais compacte. . . En contrepartie :
Théorème 1.17 (Compacité (Banach-Alaoglu-Bourbaki))
La boule unité de E ∗ , définie comme suit :
B ∗ =
x
∗
∈ E
∗
|
x
∗
∗
≤ 1
est compacte pour la topologie faible-∗.
Question : qui était Alaoglu 3 ?
Sur le versant E (et non E ∗ ), la boule unité B = {x ∈ E | x ≤ 1} est
compacte pour σ (E, E ∗ ) dès lors que E est réflexif.
Pour terminer avec E ∗ , insistons sur les deux points-résumés que voici :
– Il y a deux topologies essentielles sur E ∗ : la topologie forte (dont
le marqueur est · ∗ ) et la topologie faible-∗
(E, ·)
(·) ∗
# #
(E ∗ , · ∗ )
E
(E ∗ , σ (E ∗ , E))
(·) ∗
c c
– Il y a deux types de convexes fermés dans E ∗ : les convexes fermés
pour la topologie forte et les convexes fermés pour la topologie
faible-∗.
Ceci est d’importance car, en analyse et calcul variationnels (en différentiation généralisée notamment), ce sont des ensembles (convexes) de E ∗ que
nous considérons.
3 L. Alaoglu (1914-1981) est un mathématicien d’origine grecque. Ses travaux de thèse (“Weak
topologies of normed linear spaces”, 1938) sont à l’origine du théorème invoqué ici. Quant à
Bourbaki, je dois être un des seuls mathématiciens à avoir joué au football contre l’équipe de
(et sur le stade de) Bourbaki, à Pau près de l’université. Pour être complet, il faudrait parler
de Banach...