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CHAPITRE 1. PROLÉGOMÈNES. RÉSULTATS FONDAMENTAUX
pour affaiblir la topologie forte sur E ∗ : on crée ainsi, sur E ∗ , la topologie
faible σ (E ∗ , E ∗∗ ). Mais il y a mieux à faire : on va créer sur E ∗ une topologie
encore plus économique (ou moins fine) que σ (E ∗ , E ∗∗ ) ; elle aura donc
moins d’ouverts (et de fermés) ; il sera donc encore plus facile d’être compact
pour cette topologie !
La topologie faible-∗, désignée aussi par le sigle σ (E ∗ , E), est la topologie
la moins fine (i.e., la plus "économique", ayant le minimum d’ouverts) rendant
continues toutes les formes linéaires
E x : E ∗ → R
x ∗ → →x ∗ , x.
Par construction, le dual topologique de (E ∗ , σ (E ∗ , E)) est (identifiable à) E.
Notation (concernant une suite (x ∗
k ) ⊂ E ∗ ) :
"x ∗
k
∗
x ∗ " pour "x ∗
k → x ∗ pour la topologie σ (E ∗ , E)".
(ça fait beaucoup d’´ etoiles...)
Proposition 1.16 (de comparaison de convergences)
Soit (x ∗
k ) k une suite d’éléments de E ∗ . Alors :
(i) [Définition quasiment]
x
∗
k
∗
x
∗
⇔ (x
∗
k , x → →x
∗
, x pour tout x ∈ E).
(ii) [La topologie faible-∗ est séparée]
Si
x
∗
k
converge faiblement-∗, alors sa limite faible-∗ est unique (Ouf !).
(iii) [Une suite faiblement-∗ convergente est fortement bornée]
x
∗
k
∗
x
∗
⇒
x
∗
k
∗
k
est born´ ee
.
(iv) [Semicontinuité]
x
∗
k
∗
x
∗
⇒
lim inf
k→+∞
x
∗
k
∗
≥
x
∗
∗
.
(v) [Couplage "convergence faible-∗ dans E ∗ – convergence forte dans E"]
x ∗
k x ∗ (dans E ∗ )
x k → x (dans E)
⇒ (x ∗
k , x k → →x ∗ , x).
(i.e., x k − x → 0)