3. LE CHOIX DES TOPOLOGIES
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(ii) [Qui peut le plus peut le moins]
(x k → x) ⇒ (x k x) .
(iii) [Une suite faiblement convergente est fortement bornée ; la fonction ·
est (séquentiellement) faiblement s.c.i.]
(x k x) ⇒ ((x k ) k est born´ ee et lim inf
k→+∞
x k ≥ x).
(iv) [Couplage "convergence forte dans E ∗ – convergence faible dans E"]
x k x (dans E)
x ∗
k → x ∗ (dans E ∗ )
⇒ (x ∗
k , x k → →x ∗ , x(dans R)).
i.e.,
x ∗
k − x ∗
∗
→ 0
Apport de la convexité
Une propriété aussi simple que la convexité, une propriété vectorielle pourtant, va faire que "fermés forts ou fermés faibles, c’est la même chose !".
Théorème 1.15 Supposons C ⊂ E convexe. Alors :
(C ferm´ e fort) ⇒ (C ferm´ e pour σ (E, E
∗
))
[la réciproque étant toujours vraie, que C soit convexe ou pas].
Conséquence : Si f : E → R ∪ {+∞} est convexe s.c.i. (pour la topologie
forte), alors f est s.c.i. pour la topologie σ (E, E ∗ ). Il suffit pour le voir
de penser à la caractérisation de la s.c.i. de f via les ensembles de sousniveau [ f ≤ r ] (cf. Proposition 1.5) – lesquels sont convexes lorsque f est
convexe – et au théorème qui vient d’être énoncé. En particulier, une telle
fonction f est séquentiellement faiblement s.c.i. :
(x k x) ⇒
lim inf
k→+∞
f (x k ) ≥ f (x)
.
Le cas de la fonction norme, f = · a été vu au (iii) de la Proposition (1.14)
plus haut.
3.3 Le topologie faible-∗, σ (E ∗ , E) (weak-∗ en anglais)
Ce qui a été fait, avec E ∗ , pour affaiblir la topologie initiale sur E (et créer
ainsi la topologie σ (E, E ∗ ), cf. § 3.2), on peut le faire, avec E ∗∗ = (E ∗ ) ∗ ,
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(ii) [Qui peut le plus peut le moins]
(x k → x) ⇒ (x k x) .
(iii) [Une suite faiblement convergente est fortement bornée ; la fonction ·
est (séquentiellement) faiblement s.c.i.]
(x k x) ⇒ ((x k ) k est born´ ee et lim inf
k→+∞
x k ≥ x).
(iv) [Couplage "convergence forte dans E ∗ – convergence faible dans E"]
x k x (dans E)
x ∗
k → x ∗ (dans E ∗ )
⇒ (x ∗
k , x k → →x ∗ , x(dans R)).
i.e.,
x ∗
k − x ∗
∗
→ 0
Apport de la convexité
Une propriété aussi simple que la convexité, une propriété vectorielle pourtant, va faire que "fermés forts ou fermés faibles, c’est la même chose !".
Théorème 1.15 Supposons C ⊂ E convexe. Alors :
(C ferm´ e fort) ⇒ (C ferm´ e pour σ (E, E
∗
))
[la réciproque étant toujours vraie, que C soit convexe ou pas].
Conséquence : Si f : E → R ∪ {+∞} est convexe s.c.i. (pour la topologie
forte), alors f est s.c.i. pour la topologie σ (E, E ∗ ). Il suffit pour le voir
de penser à la caractérisation de la s.c.i. de f via les ensembles de sousniveau [ f ≤ r ] (cf. Proposition 1.5) – lesquels sont convexes lorsque f est
convexe – et au théorème qui vient d’être énoncé. En particulier, une telle
fonction f est séquentiellement faiblement s.c.i. :
(x k x) ⇒
lim inf
k→+∞
f (x k ) ≥ f (x)
.
Le cas de la fonction norme, f = · a été vu au (iii) de la Proposition (1.14)
plus haut.
3.3 Le topologie faible-∗, σ (E ∗ , E) (weak-∗ en anglais)
Ce qui a été fait, avec E ∗ , pour affaiblir la topologie initiale sur E (et créer
ainsi la topologie σ (E, E ∗ ), cf. § 3.2), on peut le faire, avec E ∗∗ = (E ∗ ) ∗ ,