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CHAPITRE 1. PROLÉGOMÈNES. RÉSULTATS FONDAMENTAUX
∀ x ∈ E, x = max
x ∗ ∈ E ∗
x
∗
∗ ≤1
||x ∗ , x|
(c’est v´ eritablement un max ici).
(1.7)
Supposons désormais que (E, ·) est un espace de Banach.
3.2 Topologie faible σ (E, E ∗ ) sur E
Il y a déjà une topologie sur E, celle définie avec la norme · (appelée
topologie forte), ce qui a permis la définition et construction de E ∗ . À côté
de cette topologie, on définit une nouvelle topologie sur E, ladite topologie
faible σ (E, E ∗ ), comme suit : c’est la topologie (sur E) la moins fine (i.e.,
la plus "économique", ayant le minimum d’ouverts) rendant continues toutes
les formes linéaires
E ∗ x ∗ : E → R
x → →x ∗ , x.
Par définition ou construction,
– La topologie faible σ (E, E ∗ ) a moins d’ouverts (et de fermés) que la
topologie forte ;
– Les ouverts (resp. les fermés) pour la topologie σ (E, E ∗ ) sont aussi
ouverts (resp. fermés) pour la topologie forte.
Il sera donc plus difficile pour une fonction f : E → R ∪ {+∞} d’être s.c.i.
pour la topologie σ (E, E ∗ ) que pour la topologie forte.
– Le dual topologique de (E, σ (E, E ∗ )) est E ∗ .
Quelques difficultés (lorsque E n’est pas de dimension finie) :
– La sphère-unité de E n’est jamais fermée pour σ (E, E ∗ ) ;
– La boule ouverte {x ∈ E | x < 1} n’est jamais ouverte pour σ (E, E ∗ ) ;
– La topologie σ (E, E ∗ ) n’est pas métrisable.
Comme on a souvent affaire à des suites construites dans E, il est bon de savoir
quels liens unissent la convergence forte de (x k ) vers x et la convergence faible
(au sens de σ (E, E ∗ )) de (x k ) vers x. Pour alléger l’écriture, on notera
"x k x" pour "x k → x pour la topologie σ (E, E
∗
)".
Proposition 1.14 (de comparaison de convergences)
Soit (x k ) k une suite d’éléments de E. Alors :
(i) [Définition quasiment]
(x k x) ⇔
x
∗
, x k → →x
∗
, x pour tout x
∗
∈ E
∗
.
CHAPITRE 1. PROLÉGOMÈNES. RÉSULTATS FONDAMENTAUX
∀ x ∈ E, x = max
x ∗ ∈ E ∗
x
∗
∗ ≤1
||x ∗ , x|
(c’est v´ eritablement un max ici).
(1.7)
Supposons désormais que (E, ·) est un espace de Banach.
3.2 Topologie faible σ (E, E ∗ ) sur E
Il y a déjà une topologie sur E, celle définie avec la norme · (appelée
topologie forte), ce qui a permis la définition et construction de E ∗ . À côté
de cette topologie, on définit une nouvelle topologie sur E, ladite topologie
faible σ (E, E ∗ ), comme suit : c’est la topologie (sur E) la moins fine (i.e.,
la plus "économique", ayant le minimum d’ouverts) rendant continues toutes
les formes linéaires
E ∗ x ∗ : E → R
x → →x ∗ , x.
Par définition ou construction,
– La topologie faible σ (E, E ∗ ) a moins d’ouverts (et de fermés) que la
topologie forte ;
– Les ouverts (resp. les fermés) pour la topologie σ (E, E ∗ ) sont aussi
ouverts (resp. fermés) pour la topologie forte.
Il sera donc plus difficile pour une fonction f : E → R ∪ {+∞} d’être s.c.i.
pour la topologie σ (E, E ∗ ) que pour la topologie forte.
– Le dual topologique de (E, σ (E, E ∗ )) est E ∗ .
Quelques difficultés (lorsque E n’est pas de dimension finie) :
– La sphère-unité de E n’est jamais fermée pour σ (E, E ∗ ) ;
– La boule ouverte {x ∈ E | x < 1} n’est jamais ouverte pour σ (E, E ∗ ) ;
– La topologie σ (E, E ∗ ) n’est pas métrisable.
Comme on a souvent affaire à des suites construites dans E, il est bon de savoir
quels liens unissent la convergence forte de (x k ) vers x et la convergence faible
(au sens de σ (E, E ∗ )) de (x k ) vers x. Pour alléger l’écriture, on notera
"x k x" pour "x k → x pour la topologie σ (E, E
∗
)".
Proposition 1.14 (de comparaison de convergences)
Soit (x k ) k une suite d’éléments de E. Alors :
(i) [Définition quasiment]
(x k x) ⇔
x
∗
, x k → →x
∗
, x pour tout x
∗
∈ E
∗
.