3. LE CHOIX DES TOPOLOGIES
11
– Espaces de Hilbert. Ce sont les premiers espaces de travail de dimension infinie, les plus importants sans doute... Ah si on savait tout faire
dans les espaces de Hilbert ! Lorsqu’un espace de Hilbert (H, ·, ··)
est donné, c’est naturellement la norme hilbertienne associée : · :=
√
·, ·· qu’on utilisera. Mais il y a une autre topologie, ladite topologie
faible, qu’on peut mettre sur H . C’est un cas particulier de ce qui va être
présenté plus loin ; toutefois il faut d’ores et déjà bien maîtriser les tenants et les aboutissants de "une suite (u k ) converge faiblement vers u",
et connaître les obstacles empêchant une suite faiblement convergente
de converger fortement (i.e., au sens de la topologie définie via la norme
hilbertienne). À faire : Exercices 4 et 5 ; à lire : [H].
– Espaces de Banach. Un espace vectoriel normé (E, ·) est dit de
Banach lorsqu’il est complet. On désigne par E ∗ (ou E ) le dual topologique 2 de E, c’est-à-dire l’ensemble des formes linéaires continues x ∗
sur E :
x ∗ ∈ E ∗ , x ∗ : E → R
x → x ∗ (x),
action de x ∗ sur x, que l’on note aussi x ∗ , x (·, ·· est ledit "crochet de
dualité", à ne pas confondre avec un produit scalaire). E ∗ est structuré
en espace vectoriel normé grâce à la norme duale · ∗ (de ·) définie
comme suit :
∀ x ∗ ∈ E ∗ , x ∗ ∗ := sup
x∈ E
x≤1
||x ∗ , x|
(c’est vraiment un sup, pas un max).
(1.6)
On peut injecter canoniquement E sur le bidual topologique E ∗∗ :=
(E ∗ ) ∗ de E :
x ∈ E
j
E ∗ → R
x ∗ → →x ∗ , x
∈ E ∗∗ .
Grâce à l’application linéaire (isométrique même) j, on peut identifier E
à un sous-espace de E ∗∗ . Attention ! le "trou" entre E et E ∗∗ peut être
énorme ; penser à E = L 1 , où E ∗∗ = (L ∞ ) ∗ est un gros fourre-tout où
se perdent les fonctions de L 1 ...
Quand j (E) = E ∗∗ , on dit que E est réflexif ; dans ce cas on identifie
implicitement E et E ∗∗ (toujours via j). Parallèlement à (1.6), notons
que
2 Comme tout ce qui nous concerne est de nature topologique, on ne considérera pas le dual
algébrique de E, la notation E ∗ ne doit donc pas prêter à confusion.
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– Espaces de Hilbert. Ce sont les premiers espaces de travail de dimension infinie, les plus importants sans doute... Ah si on savait tout faire
dans les espaces de Hilbert ! Lorsqu’un espace de Hilbert (H, ·, ··)
est donné, c’est naturellement la norme hilbertienne associée : · :=
√
·, ·· qu’on utilisera. Mais il y a une autre topologie, ladite topologie
faible, qu’on peut mettre sur H . C’est un cas particulier de ce qui va être
présenté plus loin ; toutefois il faut d’ores et déjà bien maîtriser les tenants et les aboutissants de "une suite (u k ) converge faiblement vers u",
et connaître les obstacles empêchant une suite faiblement convergente
de converger fortement (i.e., au sens de la topologie définie via la norme
hilbertienne). À faire : Exercices 4 et 5 ; à lire : [H].
– Espaces de Banach. Un espace vectoriel normé (E, ·) est dit de
Banach lorsqu’il est complet. On désigne par E ∗ (ou E ) le dual topologique 2 de E, c’est-à-dire l’ensemble des formes linéaires continues x ∗
sur E :
x ∗ ∈ E ∗ , x ∗ : E → R
x → x ∗ (x),
action de x ∗ sur x, que l’on note aussi x ∗ , x (·, ·· est ledit "crochet de
dualité", à ne pas confondre avec un produit scalaire). E ∗ est structuré
en espace vectoriel normé grâce à la norme duale · ∗ (de ·) définie
comme suit :
∀ x ∗ ∈ E ∗ , x ∗ ∗ := sup
x∈ E
x≤1
||x ∗ , x|
(c’est vraiment un sup, pas un max).
(1.6)
On peut injecter canoniquement E sur le bidual topologique E ∗∗ :=
(E ∗ ) ∗ de E :
x ∈ E
j
E ∗ → R
x ∗ → →x ∗ , x
∈ E ∗∗ .
Grâce à l’application linéaire (isométrique même) j, on peut identifier E
à un sous-espace de E ∗∗ . Attention ! le "trou" entre E et E ∗∗ peut être
énorme ; penser à E = L 1 , où E ∗∗ = (L ∞ ) ∗ est un gros fourre-tout où
se perdent les fonctions de L 1 ...
Quand j (E) = E ∗∗ , on dit que E est réflexif ; dans ce cas on identifie
implicitement E et E ∗∗ (toujours via j). Parallèlement à (1.6), notons
que
2 Comme tout ce qui nous concerne est de nature topologique, on ne considérera pas le dual
algébrique de E, la notation E ∗ ne doit donc pas prêter à confusion.