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CHAPITRE 1. PROLÉGOMÈNES. RÉSULTATS FONDAMENTAUX
Fig. 1.1 S est polyédral
(non borné), f présente des
"courbures" ; bien que f
soit bornée inférieurement
sur S, la borne inférieure
de f sur S (= 0) n’est pas
atteinte.
f (x ) = e − x
S = [0 , + [
Fig. 1.2 f est linéaire,
S (non borné) présente des
"courbures" ; bien que f
soit bornée inférieurement
sur S, la borne inférieure de
f sur S (= 0) n’est pas
atteinte.
Pourtant S (fermé) n’a pas été supposé borné (S n’a donc pas été supposé
compact)... C’est le caractère particulier des données ( f est linéaire, S est
polyédral) qui a fait marcher les choses.
3 Le choix des topologies. Les topologies faibles sur un espace
vectoriel normé.
3.1 Progression dans la généralité des espaces de travail
Les problèmes d’optimisation et de calcul variationnel conduisent à considérer des espaces de travail E de plus en plus généraux :
– Espaces de dimension finie. R n et – surtout – M m,n (R). Ce dernier
est structuré en espace euclidien grâce au produit scalaire défini par la
formule A, B := tr(A T B). Il est d’importance en Statistique, Automatique (Automatic control), optimisation matricielle (dont optimisation SDP sur laquelle nous reviendrons plus loin). Mais il n’y a qu’une
seule topologie d’espace vectoriel normé sur E lorsque E est de dimension finie.
CHAPITRE 1. PROLÉGOMÈNES. RÉSULTATS FONDAMENTAUX
Fig. 1.1 S est polyédral
(non borné), f présente des
"courbures" ; bien que f
soit bornée inférieurement
sur S, la borne inférieure
de f sur S (= 0) n’est pas
atteinte.
f (x ) = e − x
S = [0 , + [
Fig. 1.2 f est linéaire,
S (non borné) présente des
"courbures" ; bien que f
soit bornée inférieurement
sur S, la borne inférieure de
f sur S (= 0) n’est pas
atteinte.
Pourtant S (fermé) n’a pas été supposé borné (S n’a donc pas été supposé
compact)... C’est le caractère particulier des données ( f est linéaire, S est
polyédral) qui a fait marcher les choses.
3 Le choix des topologies. Les topologies faibles sur un espace
vectoriel normé.
3.1 Progression dans la généralité des espaces de travail
Les problèmes d’optimisation et de calcul variationnel conduisent à considérer des espaces de travail E de plus en plus généraux :
– Espaces de dimension finie. R n et – surtout – M m,n (R). Ce dernier
est structuré en espace euclidien grâce au produit scalaire défini par la
formule A, B := tr(A T B). Il est d’importance en Statistique, Automatique (Automatic control), optimisation matricielle (dont optimisation SDP sur laquelle nous reviendrons plus loin). Mais il n’y a qu’une
seule topologie d’espace vectoriel normé sur E lorsque E est de dimension finie.