2. LA QUESTION DE L’EXISTENCE DE SOLUTIONS
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(X ⊂ E ferm´ e pour τ 2 ) ⇒ (X ferm´ e pour τ 1 ).
Comme la s.c.i. de f sur E s’exprime par le caractère fermé des ensembles de sous-niveau X = [ f ≤ r ] , r ∈ R, plus il y a d’ouverts (et
donc de fermés) dans la topologie choisie (ou encore, plus les bases de
voisinages de points de E sont "fines"), plus on a de chances de satisfaire
l’exigence de s.c.i. (de f ).
• Si τ 1 est plus forte que τ 2 ,
(S ⊂ E compact pour τ 1 ) ⇒ (S compact pour τ 2 )
(penser à la définition de compacité via les recouvrements finis qu’on
extrait de recouvrements d’ouverts de S ; plus il y a d’ouverts pour la topologie, i.e., plus la topologie est forte, plus on a de difficultés à satisfaire
l’exigence de compacité (de S)).
Schématiquement, supposons que E soit muni de deux topologies, l’une
"forte", l’autre "faible" ; conséquences : il est plus facile pour f d’être s.c.i.
pour la topologie forte, il est plus facile pour S d’être compact pour la topologie faible...
( f s.c.i. faible) ⇒ ( f s.c.i. fort)
(S compact fort) ⇒ (S compact faible).
Moralité : on n’a rien sans rien...
Espoirs : que dans certaines situations (de fonctions f , d’ensembles S), la
fonction-objectif f , assez facilement s.c.i. fort, soit aussi s.c.i. faible et/ou que
l’ensemble-contrainte S, assez facilement compact faible, soit aussi compact
fort.
Mise en garde : Même si le théorème d’existence évoqué est central, il ne
faut pas s’imaginer que tous les théorèmes d’existence en calcul variationnel
ou optimisation sont modelés sur celui-là... Il y a des situations où la structure
des problèmes fait qu’on a accès à des théorèmes d’existence spécifiques. En
voici un exemple.
Optimisation à données linéaires (Programmation Linéaire)
E = R n , f (x) = =c, x (noté aussi c T x) (fonction linéaire donc) ; S décrit
par les inégalités
a 1 , x ≤ b 1 , ..., a m , x ≤ b m
(S est donc un polyèdre convexe fermé de R n ).
Théorème 1.13 (d’existence)
Si f est bornée inférieurement sur S (i.e., ¯
f := inf
x∈ S
c, x > −∞), alors le
problème de la minimisation de f sur S a des solutions.
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(X ⊂ E ferm´ e pour τ 2 ) ⇒ (X ferm´ e pour τ 1 ).
Comme la s.c.i. de f sur E s’exprime par le caractère fermé des ensembles de sous-niveau X = [ f ≤ r ] , r ∈ R, plus il y a d’ouverts (et
donc de fermés) dans la topologie choisie (ou encore, plus les bases de
voisinages de points de E sont "fines"), plus on a de chances de satisfaire
l’exigence de s.c.i. (de f ).
• Si τ 1 est plus forte que τ 2 ,
(S ⊂ E compact pour τ 1 ) ⇒ (S compact pour τ 2 )
(penser à la définition de compacité via les recouvrements finis qu’on
extrait de recouvrements d’ouverts de S ; plus il y a d’ouverts pour la topologie, i.e., plus la topologie est forte, plus on a de difficultés à satisfaire
l’exigence de compacité (de S)).
Schématiquement, supposons que E soit muni de deux topologies, l’une
"forte", l’autre "faible" ; conséquences : il est plus facile pour f d’être s.c.i.
pour la topologie forte, il est plus facile pour S d’être compact pour la topologie faible...
( f s.c.i. faible) ⇒ ( f s.c.i. fort)
(S compact fort) ⇒ (S compact faible).
Moralité : on n’a rien sans rien...
Espoirs : que dans certaines situations (de fonctions f , d’ensembles S), la
fonction-objectif f , assez facilement s.c.i. fort, soit aussi s.c.i. faible et/ou que
l’ensemble-contrainte S, assez facilement compact faible, soit aussi compact
fort.
Mise en garde : Même si le théorème d’existence évoqué est central, il ne
faut pas s’imaginer que tous les théorèmes d’existence en calcul variationnel
ou optimisation sont modelés sur celui-là... Il y a des situations où la structure
des problèmes fait qu’on a accès à des théorèmes d’existence spécifiques. En
voici un exemple.
Optimisation à données linéaires (Programmation Linéaire)
E = R n , f (x) = =c, x (noté aussi c T x) (fonction linéaire donc) ; S décrit
par les inégalités
a 1 , x ≤ b 1 , ..., a m , x ≤ b m
(S est donc un polyèdre convexe fermé de R n ).
Théorème 1.13 (d’existence)
Si f est bornée inférieurement sur S (i.e., ¯
f := inf
x∈ S
c, x > −∞), alors le
problème de la minimisation de f sur S a des solutions.