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CHAPITRE 1. PROLÉGOMÈNES. RÉSULTATS FONDAMENTAUX
Cette propriété de "compacité" est à relier à celle de semicontinuité
inférieure de la variation totale J qui va suivre.
• Si ( f n ) est une suite de fonctions de BV (() qui converge vers une f
fortement dans L 1 ((), alors, f ∈ BV (() et
lim inf
n→+∞
J ( f n ) ≥ J ( f ).
2.3 Un résultat standard d’existence
Notre problème variationnel générique est
(P)
Minimiser f (x),
x ∈ S,
où S est une partie (non vide) de E et f : E → R ∪ {+∞} une fonctionobjectif générale. On suppose – et c’est la moindre des choses – que f est
finie en au moins un point de S.
Le théorème suivant d’existence de solutions dans (P) a pour genèse le
théorème de K. Weierstrass.
Théorème 1.12 (d’existence) On suppose :
• f : E → R ∪ {+∞} est s.c.i. sur E ;
• S ⊂ E est compact.
Alors f est bornée inférieurement sur S (i.e., ¯
f := inf
S
f > −∞) (c’est un
premier résultat) et il existe x ∈ S tel que f (x) = inf
S
f (= ¯
f ) (c’est un
deuxième résultat).
Ceci est énoncé avec une topologie τ sur E sous-jacente ; il y a une opposition entre les deux exigences, celle relative à la fonction-objectif f et celle
relative à l’ensemble-contrainte S... chacune tirant de son côté.
Dilemme du choix de la topologie :
→ assez "fine" ou forte ( ouverts, fermés) pour que f soit s.c.i.
→ assez "économique" ou faible ( ouverts) pour que S soit compact.
Explicitons quelque peu ces deux exigences qui tirent chacune de leur
côté...
Soit τ 1 et τ 2 deux topologies sur E.
• Si τ 1 est plus forte que τ 2 (i.e., tout ouvert de τ 2 est aussi un ouvert de τ 1 ;
"il y a plus d’ouverts pour τ 1 que pour τ 2 "), alors
CHAPITRE 1. PROLÉGOMÈNES. RÉSULTATS FONDAMENTAUX
Cette propriété de "compacité" est à relier à celle de semicontinuité
inférieure de la variation totale J qui va suivre.
• Si ( f n ) est une suite de fonctions de BV (() qui converge vers une f
fortement dans L 1 ((), alors, f ∈ BV (() et
lim inf
n→+∞
J ( f n ) ≥ J ( f ).
2.3 Un résultat standard d’existence
Notre problème variationnel générique est
(P)
Minimiser f (x),
x ∈ S,
où S est une partie (non vide) de E et f : E → R ∪ {+∞} une fonctionobjectif générale. On suppose – et c’est la moindre des choses – que f est
finie en au moins un point de S.
Le théorème suivant d’existence de solutions dans (P) a pour genèse le
théorème de K. Weierstrass.
Théorème 1.12 (d’existence) On suppose :
• f : E → R ∪ {+∞} est s.c.i. sur E ;
• S ⊂ E est compact.
Alors f est bornée inférieurement sur S (i.e., ¯
f := inf
S
f > −∞) (c’est un
premier résultat) et il existe x ∈ S tel que f (x) = inf
S
f (= ¯
f ) (c’est un
deuxième résultat).
Ceci est énoncé avec une topologie τ sur E sous-jacente ; il y a une opposition entre les deux exigences, celle relative à la fonction-objectif f et celle
relative à l’ensemble-contrainte S... chacune tirant de son côté.
Dilemme du choix de la topologie :
→ assez "fine" ou forte ( ouverts, fermés) pour que f soit s.c.i.
→ assez "économique" ou faible ( ouverts) pour que S soit compact.
Explicitons quelque peu ces deux exigences qui tirent chacune de leur
côté...
Soit τ 1 et τ 2 deux topologies sur E.
• Si τ 1 est plus forte que τ 2 (i.e., tout ouvert de τ 2 est aussi un ouvert de τ 1 ;
"il y a plus d’ouverts pour τ 1 que pour τ 2 "), alors