2. LA QUESTION DE L’EXISTENCE DE SOLUTIONS
7
J ( f ) := sup
f (x) div
φ(x) dx
φ ∈ C
1
K ((, R
2
),
φ
≤ 1
. (1.3)
J est ce qu’on appelle "la variation totale de f sur ".
Rappelons que si
φ =
φ 1
φ 2
, div
φ(x) =
∂φ 1
∂ x 1
(x) +
∂φ 2
∂ x 2
(x).
Comme
φ est à support compact contenu dans (donc nulle au bord de ),
une intégration par parties permet de reformuler l’intégrale qui apparaît dans
l’expression (1.3) de J ( f ), pour des fonctions f "assez régulières" du moins :
f (x) div
φ(x) dx =
f (x)
∂φ 1
∂ x 1
(x) + f (x)
∂φ 2
∂ x 2
(x)
dx (1.4)
= −
∂ f
∂ x 1
(x)φ 1 (x) +
∂ f
∂ x 2
(x)φ 2 (x)
dx
= −
∇ f (x),
φ(x) dx.
On définit l’espace BV (() des fonctions à variation bornée dans comme
étant celui des fonctions intégrables sur dont la variation totale sur est
finie :
BV (() :=
f ∈ L
1
(()
J ( f ) < +∞
.
(1.5)
BV (() est un espace fonctionnel utilisé en analyse et calcul variationnels,
notamment dans le traitement mathématique des images.
Par exemple, la courbe de R 2 ( est juste un ensemble mesurable de R 2 ,
pour la mesure de Lebesgue, bien sûr) est de longueur finie si sa fonction
indicatrice 1 est dans BV (() (auquel cas, la longueur de est J (1 )).
BV (() est très "riche" en fonctions. Supposons par exemple que f ∈
W 1,1 (() (espace de Sobolev de fonctions de L 1 (() dont la dérivée généralisée, au sens des distributions, D f est encore dans L 1 (()). Alors, f ∈ BV (()
et J ( f ) = D f L 1 .
Signalons trois propriétés essentielles de l’espace BV ((), notamment
celle relative à la semicontinuité de J .
• f ∈ BV (() → f L 1 + J ( f ) est une norme sur (l’espace vectoriel) BV ((). On notera f BV (() cette norme.
(BV ((), · BV (() ) est un espace vectoriel normé complet, c’est un
espace de Banach (mais pas réflexif).
• Si ( f n ) n est une suite bornée de BV ((), c’est-à-dire qu’il existe K > 0
telle que f n BV (() ≤ K pour tout n, alors il existe une sous-suite ( f n k ) k
de ( f n ) n et une fonction f ∈ BV (() telles que f n k → f quand k →
+∞ dans L 1 (() (c’est-à-dire
f n k − f
L 1 → 0 quand k → +∞).
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J ( f ) := sup
f (x) div
φ(x) dx
φ ∈ C
1
K ((, R
2
),
φ
≤ 1
. (1.3)
J est ce qu’on appelle "la variation totale de f sur ".
Rappelons que si
φ =
φ 1
φ 2
, div
φ(x) =
∂φ 1
∂ x 1
(x) +
∂φ 2
∂ x 2
(x).
Comme
φ est à support compact contenu dans (donc nulle au bord de ),
une intégration par parties permet de reformuler l’intégrale qui apparaît dans
l’expression (1.3) de J ( f ), pour des fonctions f "assez régulières" du moins :
f (x) div
φ(x) dx =
f (x)
∂φ 1
∂ x 1
(x) + f (x)
∂φ 2
∂ x 2
(x)
dx (1.4)
= −
∂ f
∂ x 1
(x)φ 1 (x) +
∂ f
∂ x 2
(x)φ 2 (x)
dx
= −
∇ f (x),
φ(x) dx.
On définit l’espace BV (() des fonctions à variation bornée dans comme
étant celui des fonctions intégrables sur dont la variation totale sur est
finie :
BV (() :=
f ∈ L
1
(()
J ( f ) < +∞
.
(1.5)
BV (() est un espace fonctionnel utilisé en analyse et calcul variationnels,
notamment dans le traitement mathématique des images.
Par exemple, la courbe de R 2 ( est juste un ensemble mesurable de R 2 ,
pour la mesure de Lebesgue, bien sûr) est de longueur finie si sa fonction
indicatrice 1 est dans BV (() (auquel cas, la longueur de est J (1 )).
BV (() est très "riche" en fonctions. Supposons par exemple que f ∈
W 1,1 (() (espace de Sobolev de fonctions de L 1 (() dont la dérivée généralisée, au sens des distributions, D f est encore dans L 1 (()). Alors, f ∈ BV (()
et J ( f ) = D f L 1 .
Signalons trois propriétés essentielles de l’espace BV ((), notamment
celle relative à la semicontinuité de J .
• f ∈ BV (() → f L 1 + J ( f ) est une norme sur (l’espace vectoriel) BV ((). On notera f BV (() cette norme.
(BV ((), · BV (() ) est un espace vectoriel normé complet, c’est un
espace de Banach (mais pas réflexif).
• Si ( f n ) n est une suite bornée de BV ((), c’est-à-dire qu’il existe K > 0
telle que f n BV (() ≤ K pour tout n, alors il existe une sous-suite ( f n k ) k
de ( f n ) n et une fonction f ∈ BV (() telles que f n k → f quand k →
+∞ dans L 1 (() (c’est-à-dire
f n k − f
L 1 → 0 quand k → +∞).