6
CHAPITRE 1. PROLÉGOMÈNES. RÉSULTATS FONDAMENTAUX
Exemple 1.9 (Exemple de la longueur d’une courbe)
C’est un exemple assez bluffant... des figures suffisent à l’illustrer.
Les courbes graphes de f 1 , f 2 , ..., f k , ... ont toutes la même longueur, à
savoir L( f k ) = 2π , tandis que la courbe graphe de la limite f (vers laquelle les f k convergent magnifiquement, i.e. uniformément) a pour longueur L( f ) = 2. Ceci est l’illustration parfaite de l’inégalité
lim inf
k→+∞
L( f k ) ≥ L( f ).
La fonction "longueur d’une courbe" (même pour des courbes "gentilles")
ne saurait être mieux que semicontinue inférieurement.
Exemple 1.10 (Exemple du rang d’une matrice)
Ceci est un exemple fondamental, en raison de l’importance de cette fonction
dans les so-called "rank constrained optimization problems". Rappelons que
rang : A ∈ M m,n (R) → rang(A)(∈ {0, 1, ..., p} , p := min(m, n))
est une fonction passablement chahutée...
La seule propriété topologique d’importance de cette fonction est sa semicontinuité inférieure : si A k → A dans M m,n (R), alors :
lim inf
k→+∞
rang(A k ) ≥ rang A.
En d’autres termes, le rang de A k ne peut que chuter lorsque A k → A.
Les ensembles de sous-niveau
A ∈ M m,n (R) | rang A ≤ r
(ou r , ce qui revient au mˆ eme)
sont des infâmes chewing-gums de M m,n (R), structurés en variétés algébriques (hélas non bornées)... Tout ce qu’on en dit pour le moment est que
ce sont des fermés de M m,n (R).
Exemple 1.11 (Exemple de la fonction variation totale)
Soit un ouvert borné de R 2 de frontière Lipschitz, désignons par C 1
K ((, R 2 )
l’espace des fonctions (vectorielles)
φ : → R 2 qui sont C 1 et à support
compact contenu dans (c’est le sens de la notation C 1
K ). Grâce à ces fonctions tests
φ, dans une boule toutefois de manière à normaliser les choses, on
définit J ( f ), pour f ∈ L 1 (() à valeurs réelles, comme suit :
CHAPITRE 1. PROLÉGOMÈNES. RÉSULTATS FONDAMENTAUX
Exemple 1.9 (Exemple de la longueur d’une courbe)
C’est un exemple assez bluffant... des figures suffisent à l’illustrer.
Les courbes graphes de f 1 , f 2 , ..., f k , ... ont toutes la même longueur, à
savoir L( f k ) = 2π , tandis que la courbe graphe de la limite f (vers laquelle les f k convergent magnifiquement, i.e. uniformément) a pour longueur L( f ) = 2. Ceci est l’illustration parfaite de l’inégalité
lim inf
k→+∞
L( f k ) ≥ L( f ).
La fonction "longueur d’une courbe" (même pour des courbes "gentilles")
ne saurait être mieux que semicontinue inférieurement.
Exemple 1.10 (Exemple du rang d’une matrice)
Ceci est un exemple fondamental, en raison de l’importance de cette fonction
dans les so-called "rank constrained optimization problems". Rappelons que
rang : A ∈ M m,n (R) → rang(A)(∈ {0, 1, ..., p} , p := min(m, n))
est une fonction passablement chahutée...
La seule propriété topologique d’importance de cette fonction est sa semicontinuité inférieure : si A k → A dans M m,n (R), alors :
lim inf
k→+∞
rang(A k ) ≥ rang A.
En d’autres termes, le rang de A k ne peut que chuter lorsque A k → A.
Les ensembles de sous-niveau
A ∈ M m,n (R) | rang A ≤ r
(ou r , ce qui revient au mˆ eme)
sont des infâmes chewing-gums de M m,n (R), structurés en variétés algébriques (hélas non bornées)... Tout ce qu’on en dit pour le moment est que
ce sont des fermés de M m,n (R).
Exemple 1.11 (Exemple de la fonction variation totale)
Soit un ouvert borné de R 2 de frontière Lipschitz, désignons par C 1
K ((, R 2 )
l’espace des fonctions (vectorielles)
φ : → R 2 qui sont C 1 et à support
compact contenu dans (c’est le sens de la notation C 1
K ). Grâce à ces fonctions tests
φ, dans une boule toutefois de manière à normaliser les choses, on
définit J ( f ), pour f ∈ L 1 (() à valeurs réelles, comme suit :