2. LA QUESTION DE L’EXISTENCE DE SOLUTIONS
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2.2 Des exemples
Exemple 1.8 Commençons par un exemple "théorique", la fonction indicatrice d’un ensemble S ⊂ E. Soit donc S ⊂ E ; on définit i S : E → R∪{+∞}
de la manière suivante
i S (x) := 0 si x ∈ S, +∞ sinon.
i S est appelée la fonction indicatrice de S (au sens de l’analyse variationnelle) ; plusieurs notations existent dans la littérature pour i S : δ S , χ S , I S ,
etc. Attention ! Ne pas confondre cette notion avec celle d’indicatrice (d’ensemble) utilisée en théorie de la mesure, intégration et probabilités ; celle-ci,
notée 1 S , est définie comme suit :
1 S (x) := 1 si x ∈ S, 0 sinon.
Mais il y a une relation simple entre les deux : 1 S = e −i S , cela expliquera
plus loin le lien, du moins l’analogie, entre la transformation de FourierLaplace (du monde de l’intégration) et celle de Legendre- Fenchel (du
monde de l’analyse variationnelle).
Maintenant, comme
[i S ≤ r ] = S si r ≥ 0, ∅ si r < 0,
ou bien
epi i S est le "cylindre" S × R,
il est immédiat de constater l’équivalence suivante :
(i S est s.c.i sur E) ⇔
S est ferm´ e
.
Un des intérêts de l’utilisation de i S est de pouvoir remplacer (du moins
théoriquement) un problème variationnel avec contraintes par un problème
variationnel sans contrainte. Ce qui suit est clair :
Minimiser f (x),
pour x ∈ S ⊂ E
⇔
Minimiser ˜
f (x),
pour x ∈ E
où ˜
f := f + i S (c’est-à-dire, ˜
f (x) = f (x) si x ∈ S, +∞ sinon).
On a pénalisé f (à l’extérieur de S) de manière "brute", en faisant
payer +∞ à x s’il n’est pas dans S ("pour du brutal, c’est du brutal" disait B. Blier dans Les Tontons flingueurs).
Avantage du procédé : on travaille sur tout l’espace (de travail) E ; coût : il
faut accepter de travailler avec les fonctions prenant la valeur +∞ (et adapter
toutes les notions et propriétés du monde variationnel à ce contexte).
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2.2 Des exemples
Exemple 1.8 Commençons par un exemple "théorique", la fonction indicatrice d’un ensemble S ⊂ E. Soit donc S ⊂ E ; on définit i S : E → R∪{+∞}
de la manière suivante
i S (x) := 0 si x ∈ S, +∞ sinon.
i S est appelée la fonction indicatrice de S (au sens de l’analyse variationnelle) ; plusieurs notations existent dans la littérature pour i S : δ S , χ S , I S ,
etc. Attention ! Ne pas confondre cette notion avec celle d’indicatrice (d’ensemble) utilisée en théorie de la mesure, intégration et probabilités ; celle-ci,
notée 1 S , est définie comme suit :
1 S (x) := 1 si x ∈ S, 0 sinon.
Mais il y a une relation simple entre les deux : 1 S = e −i S , cela expliquera
plus loin le lien, du moins l’analogie, entre la transformation de FourierLaplace (du monde de l’intégration) et celle de Legendre- Fenchel (du
monde de l’analyse variationnelle).
Maintenant, comme
[i S ≤ r ] = S si r ≥ 0, ∅ si r < 0,
ou bien
epi i S est le "cylindre" S × R,
il est immédiat de constater l’équivalence suivante :
(i S est s.c.i sur E) ⇔
S est ferm´ e
.
Un des intérêts de l’utilisation de i S est de pouvoir remplacer (du moins
théoriquement) un problème variationnel avec contraintes par un problème
variationnel sans contrainte. Ce qui suit est clair :
Minimiser f (x),
pour x ∈ S ⊂ E
⇔
Minimiser ˜
f (x),
pour x ∈ E
où ˜
f := f + i S (c’est-à-dire, ˜
f (x) = f (x) si x ∈ S, +∞ sinon).
On a pénalisé f (à l’extérieur de S) de manière "brute", en faisant
payer +∞ à x s’il n’est pas dans S ("pour du brutal, c’est du brutal" disait B. Blier dans Les Tontons flingueurs).
Avantage du procédé : on travaille sur tout l’espace (de travail) E ; coût : il
faut accepter de travailler avec les fonctions prenant la valeur +∞ (et adapter
toutes les notions et propriétés du monde variationnel à ce contexte).