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CHAPITRE 1. PROLÉGOMÈNES. RÉSULTATS FONDAMENTAUX
Proposition 1.6
(i) f et g s.c.i en x ∈ E (resp. sur E) ⇒ f + g s.c.i en x (resp. sur E).
(ii) ( f i ) i∈I , I absolument quelconque, f i s.c.i sur E pour tout i ∈ I ; alors
f := sup
i∈I
f i est s.c.i sur E.
On démontre le premier point grâce à l’inégalité
lim inf
y→x
( f + g)(y) ≥ lim inf
y→x
f (y) + lim inf
y→x
g(y)
(en faisant donc appel à la définition analytique) ; on démontre le deuxième
point en observant que
epi f =
i∈I
epi f i
(puis on conclut avec le fait qu’une intersection quelconque de fermés est un
fermé).
Et quand f n’est pas s.c.i sur E, que fait-on ? Quelle est la fonction s.c.i
"cousine" la plus proche ? Eh bien, on opère sur l’épigraphe de f en le
fermant ; il se trouve que epi f est encore un épigraphe (ce qui n’est pas
forcément immédiat).
Définition 1.7 (enveloppe s.c.i d’une fonction)
La plus grande minorante s.c.i de f : E → R ∪ {+∞}, appelée régularisée
ou enveloppe s.c.i de f , est la fonction (définie sans ambiguïté) ¯
f dont
l’épigraphe est epi f . En d’autres termes,
epi ¯
f = epi f ,
ou bien :
∀x ∈ E, ¯
f (x) = inf
r ∈ R | (x, r ) ∈ epi f
.
Attention ! Obtenir ¯
f n’est pas une chose facile... ça dépend de la topologie τ avec laquelle on travaille ; même dans un contexte d’espace métrique (E, d) (comme cela arrive parfois en optimisation de formes), la régularisée ¯
f peut avoir une expression très différente de f . Prendre la régularisée
s.c.i d’une fonction f est aussi une forme de relaxation (de f ), procédé sur
lequel on reviendra plus loin.
CHAPITRE 1. PROLÉGOMÈNES. RÉSULTATS FONDAMENTAUX
Proposition 1.6
(i) f et g s.c.i en x ∈ E (resp. sur E) ⇒ f + g s.c.i en x (resp. sur E).
(ii) ( f i ) i∈I , I absolument quelconque, f i s.c.i sur E pour tout i ∈ I ; alors
f := sup
i∈I
f i est s.c.i sur E.
On démontre le premier point grâce à l’inégalité
lim inf
y→x
( f + g)(y) ≥ lim inf
y→x
f (y) + lim inf
y→x
g(y)
(en faisant donc appel à la définition analytique) ; on démontre le deuxième
point en observant que
epi f =
i∈I
epi f i
(puis on conclut avec le fait qu’une intersection quelconque de fermés est un
fermé).
Et quand f n’est pas s.c.i sur E, que fait-on ? Quelle est la fonction s.c.i
"cousine" la plus proche ? Eh bien, on opère sur l’épigraphe de f en le
fermant ; il se trouve que epi f est encore un épigraphe (ce qui n’est pas
forcément immédiat).
Définition 1.7 (enveloppe s.c.i d’une fonction)
La plus grande minorante s.c.i de f : E → R ∪ {+∞}, appelée régularisée
ou enveloppe s.c.i de f , est la fonction (définie sans ambiguïté) ¯
f dont
l’épigraphe est epi f . En d’autres termes,
epi ¯
f = epi f ,
ou bien :
∀x ∈ E, ¯
f (x) = inf
r ∈ R | (x, r ) ∈ epi f
.
Attention ! Obtenir ¯
f n’est pas une chose facile... ça dépend de la topologie τ avec laquelle on travaille ; même dans un contexte d’espace métrique (E, d) (comme cela arrive parfois en optimisation de formes), la régularisée ¯
f peut avoir une expression très différente de f . Prendre la régularisée
s.c.i d’une fonction f est aussi une forme de relaxation (de f ), procédé sur
lequel on reviendra plus loin.