2. LA QUESTION DE L’EXISTENCE DE SOLUTIONS
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Exemple 1.4 (Un exemple qui marche (et fort utilisé))
Soit S ⊂ E fermé, f : S → R continue sur S. On prolonge f à tout E en
posant f (x) = +∞ si x /
∈ S. Alors, oui, la nouvelle fonction (étendue) f
est s.c.i sur E.
La s.c.i globale sur E a le bon goût de pouvoir être caractérisée géométriquement. Notations :
• pour r ∈ R, [ f ≤ r ] := {x ∈ E | f (x) ≤ r } (ensemble de sous-niveau
de f au niveau de r ; sublevel sets en anglais)
• l’épigraphe de f , i.e. “ce qui est au-dessus du graphe de f ”, comme
l’indique son étymologie
epi f := {(x, r ) ∈ E × R | f (x) ≤ r } .
Attention ! epi f est (toujours) une partie de E × R.
Proposition 1.5 (de caractérisation de la s.c.i de f sur E)
Il y a équivalence des trois assertions suivantes :
(i) f est s.c.i. sur E ;
(ii) Pour tout r ∈ R, [ f ≤ r ] est fermé (dans E) ;
(iii) epi f est fermé (dans E × R).
Pour démontrer une s.c.i, on utilise aussi bien la propriété de définition
(analytique) que la caractérisation géométrique, ça dépend des situations...
Exemple avec les propriétés qui suivent.