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CHAPITRE 1. PROLÉGOMÈNES. RÉSULTATS FONDAMENTAUX
2.1 La semicontinuité inférieure
Définition 1.1 (Rappel) On dit que f est semicontinue inférieurement (s.c.i.
en abrégé) en x ∈ E lorsque
lim inf
y→x
f (y) ≥ f (x),
c’est-à-dire :
∀ ≥ 0, ∃ V voisinage de x tel que f (y) ≥ f (x) − pour tout x ∈ V.
(1.1)
Naturellement, la notion dépend de la topologie τ considérée sur E (via
le voisinage V dans l’explicitation (1.1)).
Conséquence :
Si (une suite) (x k ) a pour limite x (ou bien, x k → x dans (E, τ )) alors
lim inf
k→+∞
f (x k ) ≥ f (x)
(1.2)
(notion plus "palpable" que celle exprimée en (1.1)). Il y a équivalence avec la
propriété donnée en définition générale lorsque la topologie τ est métrisable
(et non... méprisable).
La semicontinuité est une notion introduite par le mathématicien français
René Baire 1 , c’est en quelque sorte la moitié de la continuité dont on a besoin
lorsqu’il s’agit de minimiser. L’autre moitié est assurée par la semicontinuité
supérieure (s.c.s.) : f est dite s.c.s en x lorsque − f est s.c.i en x. Comme on
s’y attend, dire que f est continue en x (en lequel f est finie) équivaut à dire
que f est à la fois s.c.i et s.c.s en x.
Définition 1.2 (Globalisation de la précédente)
f est dite s.c.i sur E lorsque f est s.c.i en tout point x de E.
Attention, piège ! Il faut assurer la s.c.i de f en tout x ∈ E, y compris en
les x où f (x) = +∞ (en les x se trouvant sur la frontière de l’ensemble des
points où f (y) est finie).
Exemple 1.3 Soit O un ouvert de E, f : O → R continue sur E, que
l’on étend à tout E en posant f (x) = +∞ si x /
∈ O. Il n’est pas sûr que
cette fonction (étendue) soit s.c.i sur E ! Ça dépend de ce qui se passe sur f
lorsqu’on s’approche du bord de O. Pourtant f est continue partout où elle
est finie !
1 Certains prétendent que Baire est d’origine basque comme l’auteur... Il n’en est rien, mais
c’est l’occasion d’un jeu de mots : "Baire est basque...".
CHAPITRE 1. PROLÉGOMÈNES. RÉSULTATS FONDAMENTAUX
2.1 La semicontinuité inférieure
Définition 1.1 (Rappel) On dit que f est semicontinue inférieurement (s.c.i.
en abrégé) en x ∈ E lorsque
lim inf
y→x
f (y) ≥ f (x),
c’est-à-dire :
∀ ≥ 0, ∃ V voisinage de x tel que f (y) ≥ f (x) − pour tout x ∈ V.
(1.1)
Naturellement, la notion dépend de la topologie τ considérée sur E (via
le voisinage V dans l’explicitation (1.1)).
Conséquence :
Si (une suite) (x k ) a pour limite x (ou bien, x k → x dans (E, τ )) alors
lim inf
k→+∞
f (x k ) ≥ f (x)
(1.2)
(notion plus "palpable" que celle exprimée en (1.1)). Il y a équivalence avec la
propriété donnée en définition générale lorsque la topologie τ est métrisable
(et non... méprisable).
La semicontinuité est une notion introduite par le mathématicien français
René Baire 1 , c’est en quelque sorte la moitié de la continuité dont on a besoin
lorsqu’il s’agit de minimiser. L’autre moitié est assurée par la semicontinuité
supérieure (s.c.s.) : f est dite s.c.s en x lorsque − f est s.c.i en x. Comme on
s’y attend, dire que f est continue en x (en lequel f est finie) équivaut à dire
que f est à la fois s.c.i et s.c.s en x.
Définition 1.2 (Globalisation de la précédente)
f est dite s.c.i sur E lorsque f est s.c.i en tout point x de E.
Attention, piège ! Il faut assurer la s.c.i de f en tout x ∈ E, y compris en
les x où f (x) = +∞ (en les x se trouvant sur la frontière de l’ensemble des
points où f (y) est finie).
Exemple 1.3 Soit O un ouvert de E, f : O → R continue sur E, que
l’on étend à tout E en posant f (x) = +∞ si x /
∈ O. Il n’est pas sûr que
cette fonction (étendue) soit s.c.i sur E ! Ça dépend de ce qui se passe sur f
lorsqu’on s’approche du bord de O. Pourtant f est continue partout où elle
est finie !
1 Certains prétendent que Baire est d’origine basque comme l’auteur... Il n’en est rien, mais
c’est l’occasion d’un jeu de mots : "Baire est basque...".