Chapitre 1
- PROLÉGOMÈNES : LA SEMICONTINUITÉ
INFÉRIEURE ; LES TOPOLOGIES FAIBLES ;
- RÉSULTATS FONDAMENTAUX
D’EXISTENCE EN OPTIMISATION.
"Analysis is the technically most successful and best-elaborated
part of mathematics." J. Von Neumann (1903-1957)
1 Introduction
Considérons un problème d’optimisation ou variationnel général formulé
de la manière suivante :
(P)
Minimiser f (x),
x ∈ S.
où f : E → R ∪ {+∞} et S ⊂ E. L’objet de ce chapitre introductif est
de rappeler les notions et résultats nécessaires conduisant à l’existence de
solutions dans (P). On s’occupera donc de ce qu’il faut supposer sur f (la
semicontinuité inférieure) et sur S (compacité). Il faudra notamment jouer
avec diverses topologies sur E, les topologies faibles notamment. On rappellera à cette occasion le rôle et l’apport de la convexité, aussi bien sur S que
sur f .
Points d’appui / Prérequis :
• Analyse réelle (Topologie ; Analyse fonctionnelle) ;
• Convexité de base.
2 La question de l’existence de solutions
Soit (E, τ ) un espace topologique et f : E → R∪{+∞} (=]−∞; +∞]),
un contexte très général donc.
J.-B. Hiriart-Urruty, Bases, outils et principes pour l’analyse variationnelle,
1
Mathématiques et Applications 70, DOI: 10.1007/978-3-642-30735-5_1,
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013
- PROLÉGOMÈNES : LA SEMICONTINUITÉ
INFÉRIEURE ; LES TOPOLOGIES FAIBLES ;
- RÉSULTATS FONDAMENTAUX
D’EXISTENCE EN OPTIMISATION.
"Analysis is the technically most successful and best-elaborated
part of mathematics." J. Von Neumann (1903-1957)
1 Introduction
Considérons un problème d’optimisation ou variationnel général formulé
de la manière suivante :
(P)
Minimiser f (x),
x ∈ S.
où f : E → R ∪ {+∞} et S ⊂ E. L’objet de ce chapitre introductif est
de rappeler les notions et résultats nécessaires conduisant à l’existence de
solutions dans (P). On s’occupera donc de ce qu’il faut supposer sur f (la
semicontinuité inférieure) et sur S (compacité). Il faudra notamment jouer
avec diverses topologies sur E, les topologies faibles notamment. On rappellera à cette occasion le rôle et l’apport de la convexité, aussi bien sur S que
sur f .
Points d’appui / Prérequis :
• Analyse réelle (Topologie ; Analyse fonctionnelle) ;
• Convexité de base.
2 La question de l’existence de solutions
Soit (E, τ ) un espace topologique et f : E → R∪{+∞} (=]−∞; +∞]),
un contexte très général donc.
J.-B. Hiriart-Urruty, Bases, outils et principes pour l’analyse variationnelle,
1
Mathématiques et Applications 70, DOI: 10.1007/978-3-642-30735-5_1,
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013