4.3
Quelques règles de calcul typiques . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.4
Sur le besoin d’un agrandissement de of . . . . . . . . . . . . 108
5
Un exemple d’utilisation du sous-différentiel : les conditions
nécessaires et suffisantes d’optimalité dans un problème
d’optimisation convexe avec contraintes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5 QUELQUES SCHÉMAS DE DUALISATION DANS DES
PROBLÈMES D’OPTIMISATION NON CONVEXES . . . . . . . . . 117
1
Modèle 1 : la relaxation convexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
1.1
L’opération de
00 convexification fermée
00
d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
1.2
La
00 relaxation convexe fermée
00
d’un problème d’optimisation ðPÞ . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2
Modèle 2 : convexe + quadratique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3
Modèle 3 : diff-convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6 SOUS-DIFFÉRENTIELS GÉNÉRALISÉS DE FONCTIONS
NON DIFFÉRENTIABLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
1
Sous-différentiation généralisée de fonctions
localement Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
1.1
Dérivées directionnelles généralisées et
sous-différentiels généralisés au sens de CLARKE:
Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . 144
1.2
Sous-différentiels généralisés au sens de CLARKE:
Règles de calcul basiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
1.3
Un exemple d’utilisation des sous-différentiels
généralisés : les conditions nécessaires
d’optimalité dans un problème d’optimisation
avec contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
1.4
En route vers la géométrie non lisse . . . . . . . . . . . . . . . 156
2
Sous-différentiation généralisée de fonctions s.c.i. à valeurs
dans R [ fþ1g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
2.1
Un panel de sous-différentiels généralisés . . . . . . . . . . . 158
2.2
Les règles de va-et-vient entre Analyse et Géométrie
non lisses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Table des matières
xiii