2.2
Applications en théorie de l’approximation hilbertienne . . .
42
3
Prolongements possibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3 -AUTOUR DE LA PROJECTION SUR UN CONVEXE FERMÉ;
-LA DÉCOMPOSITION DE MOREAU.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
1
Le contexte linéaire : la projection sur un sous-espace vectoriel
fermé (Rappels). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
1.1
Propriétés basiques de p V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
1.2
Caractérisation de p V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
1.3
La
00 technologie des moindres carrés
00 . . . . . . . . . . . . . .
61
2
Le contexte général : la projection sur un convexe
fermé (Rappels). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.1
Caractérisation et propriétés essentielles . . . . . . . . . . . .
63
2.2
Le problème de l’admissibilité ou faisabilité convexe
(the
00 convex feasibility problem
00 ). . . . . . . . . . . . . . . . .
65
3
La projection sur un cône convexe fermé. La décomposition
de MOREAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
3.1
Le cône polaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
3.2
Caractérisation de p K ðxÞ ; propriétés de p K ;
décomposition de Moreau suivant K et K
. . . . . . . . . . .
72
4
Approximation conique d’un convexe. Application
aux conditions d’optimalité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
4.1
Le cône tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
4.2
Application aux conditions d’optimalité . . . . . . . . . . . . .
80
Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
4 ANALYSE CONVEXE OPÉRATOIRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
1
Fonctions convexes sur E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
1.1
Définitions et propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
1.2
Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
2
Deux opérations préservant la convexité. . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
2.1
Passage au supremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
2.2
Inf-convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
3
La transformation de Legendre-Fenchel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
3.1
Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
3.2
Quelques exemples pour se familiariser avec le
concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
3.3
L’inégalité de Fenchel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
3.4
La biconjugaison. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
3.5
Quelques règles de calcul typiques . . . . . . . . . . . . . . . .
99
4
Le sous-différentiel d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.1
Définition et premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2
Propriétés basiques du sous-différentiel . . . . . . . . . . . . . 102
xii
Table des matières