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CHAPITRE 6. SOUS-DIFFÉRENTIELS GÉNÉRALISÉS
2) On suppose ici que E = R n et on désigne par f l’ensemble des points
où f n’est pas différentiable.
On suppose :
∀ x ∈ R
n
\ f , ∇ f (x), ¯
x − x ≤ 0.
(6.45)
a) Montrer que ¯
x est un minimiseur de f sur R n .
b) L’inégalité stricte dans (6.45) pour tout x ∈ f , x = ¯
x, implique-telle que ¯
x est un minimiseur strict de f sur R n ?
Exercice 6
Soit f : R n → R s.c.i. On suppose que, pour tout x ∈ R n , le sousdifférentiel généralisé proximal ∂ prox f (x) est soit vide soit réduit à {0}.
Montrer qu’alors la fonction f est constante sur R n .
La fonction de comptage c (cf. Théorème 6.18) est là pour montrer qu’on peut
avoir 0 ∈ ∂ prox c(x) pour tout x ∈ R n , et avoir une fonction extrêmement
chahutée.
Références
[CLSW] F.H. Clarke, Yu.S. Ledyaev, R.J. Stern and P.R. Wolenski. Nonsmooth Analysis and Control Theory. Graduate texts in mathematics,
Springer Verlag, 1998.
[S] W. Shirotzek. Nonsmooth Analysis. Universitext, Springer Verlag, 2007.
[BZ] J.M. Borwein and Q.J. Zhu. Techniques of Variational Analysis. CMS
books in mathematics, Springer Verlag, 2005.
[C2] F.H. Clarke. Optimization and Nonsmooth Analysis. Wiley, 1983.
Reprinted by SIAM (Classics in Applied Mathematics), 1990
[BL] J.M. Borwein and A.S. Lewis. Convex Analysis and Nonlinear Optimization. CMS books in mathematics, Springer Verlag, 2000.
[RW] R.T. Rockafellar and R.J.-B. Wets. Variational Analysis. Springer Verlag, 1998.
[HUL] J.-B. Hiriart-Urruty and A.S. Lewis. "The Clarke and Michel-Penot
subdifferentials of the eigenvalues of a symmetric matrix". Computational Optimization and Applications Vol. 13, 1–3 (1999), p. 13–23.
[MP] Ph. Michel et J.-P. Penot. "Calcul sous-différentiel pour les fonctions
lipschitziennes et non lipschitziennes". C. R. Acad. Sci. Paris Vol. 298
(1984), p. 269–272.
[M] B. Mordukhovich. Variational Analysis and Generalized Differentiation, I. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 330, Springer
Verlag, 2006.
CHAPITRE 6. SOUS-DIFFÉRENTIELS GÉNÉRALISÉS
2) On suppose ici que E = R n et on désigne par f l’ensemble des points
où f n’est pas différentiable.
On suppose :
∀ x ∈ R
n
\ f , ∇ f (x), ¯
x − x ≤ 0.
(6.45)
a) Montrer que ¯
x est un minimiseur de f sur R n .
b) L’inégalité stricte dans (6.45) pour tout x ∈ f , x = ¯
x, implique-telle que ¯
x est un minimiseur strict de f sur R n ?
Exercice 6
Soit f : R n → R s.c.i. On suppose que, pour tout x ∈ R n , le sousdifférentiel généralisé proximal ∂ prox f (x) est soit vide soit réduit à {0}.
Montrer qu’alors la fonction f est constante sur R n .
La fonction de comptage c (cf. Théorème 6.18) est là pour montrer qu’on peut
avoir 0 ∈ ∂ prox c(x) pour tout x ∈ R n , et avoir une fonction extrêmement
chahutée.
Références
[CLSW] F.H. Clarke, Yu.S. Ledyaev, R.J. Stern and P.R. Wolenski. Nonsmooth Analysis and Control Theory. Graduate texts in mathematics,
Springer Verlag, 1998.
[S] W. Shirotzek. Nonsmooth Analysis. Universitext, Springer Verlag, 2007.
[BZ] J.M. Borwein and Q.J. Zhu. Techniques of Variational Analysis. CMS
books in mathematics, Springer Verlag, 2005.
[C2] F.H. Clarke. Optimization and Nonsmooth Analysis. Wiley, 1983.
Reprinted by SIAM (Classics in Applied Mathematics), 1990
[BL] J.M. Borwein and A.S. Lewis. Convex Analysis and Nonlinear Optimization. CMS books in mathematics, Springer Verlag, 2000.
[RW] R.T. Rockafellar and R.J.-B. Wets. Variational Analysis. Springer Verlag, 1998.
[HUL] J.-B. Hiriart-Urruty and A.S. Lewis. "The Clarke and Michel-Penot
subdifferentials of the eigenvalues of a symmetric matrix". Computational Optimization and Applications Vol. 13, 1–3 (1999), p. 13–23.
[MP] Ph. Michel et J.-P. Penot. "Calcul sous-différentiel pour les fonctions
lipschitziennes et non lipschitziennes". C. R. Acad. Sci. Paris Vol. 298
(1984), p. 269–272.
[M] B. Mordukhovich. Variational Analysis and Generalized Differentiation, I. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 330, Springer
Verlag, 2006.