RÉFÉRENCES
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[C] F.H. Clarke. "Generalized gradients and applications". Trans. Amer.
Math. Soc. Vol. 205 (1975), p. 247–262.
[C] est le premier article publié (dans une revue) traitant de sous-différentiels
généralisés (ou de gradients généralisés) au sens de Clarke. Les livres [C2]
et [CLSW] contiennent les développements complets sur ce concept.
Parmi toutes les variantes, signalons celle de Michel et Penot ([MP]) :
– La dérivée directionnelle généralisée au sens de Michel et Penot est
définie (pour une fonction localement Lipschitz f ) comme suit :
d ∈ E → f
♠
(x ; d) := sup
y ∈ E
lim sup
t → 0 +
f (x + t y + t d) − f (x + t y)
t
– Le sous-différentiel généralisé qui s’ensuit est :
∂
mp f (x) =
x
∗
∈ E
∗
| |x
∗
, d
∗
≤ f
♠
(x ; d) pour tout d ∈ E
.
On a gagné un peu (par rapport à ∂ Cl f (x)) au sens où ∂ mp f (x) = {D F f (x)}
quand f est différentiable en x, mais on a perdu par le fait que la multiapplication ∂ mp : E ⇒ E ∗ n’est pas "semicontinue extérieurement". Dans
beaucoup d’applications, notamment celles concernant les fonctions valeurs
propres, les deux notions coïncident ([HUL]).
Pour les fonctions s.c.i. à valeurs dans R∪{+∞}, les sous-différentiels généralisés que nous avons abordés (2 `
eme partie du chapitre) apparaissent parfois
dans la littérature sous des noms différents. Les livres [RW] (pour un contexte
de dimension finie) et [S] fourniront à l’étudiant-lecteur, s’il en a besoin, un
panorama détaillé sur ces objets.
Enfin, une approche "par limites de sous-différentiels", initiée dès la fin des
années 1970 par A.Y. Kruger et B.S. Mordukhovich, conduit à des objets
(cônes normaux, sous-différentiels généralisés) qui ne sont pas nécessairement convexes. On y gagne en finesse (les concepts définis sont très précis) mais on perd la maniabilité fournie par la technologie de l’Analyse
convexe. Le volumineux ouvrage [M] propose une présentation détaillée de
cette approche.
Maintenant que le Cours est terminé, le lecteur-étudiant pourra se faire les
dents sur des problèmes variationnels ou d’optimisation non résolus (ou non
complètement résolus) à ce jour.
J.- B. Hiriart- Urruty. "Potpourri of conjectures and open questions in
nonlinear analysis and optimization". SIAM Review Vol. 49, 2 (2007), p. 255273.
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[C] F.H. Clarke. "Generalized gradients and applications". Trans. Amer.
Math. Soc. Vol. 205 (1975), p. 247–262.
[C] est le premier article publié (dans une revue) traitant de sous-différentiels
généralisés (ou de gradients généralisés) au sens de Clarke. Les livres [C2]
et [CLSW] contiennent les développements complets sur ce concept.
Parmi toutes les variantes, signalons celle de Michel et Penot ([MP]) :
– La dérivée directionnelle généralisée au sens de Michel et Penot est
définie (pour une fonction localement Lipschitz f ) comme suit :
d ∈ E → f
♠
(x ; d) := sup
y ∈ E
lim sup
t → 0 +
f (x + t y + t d) − f (x + t y)
t
– Le sous-différentiel généralisé qui s’ensuit est :
∂
mp f (x) =
x
∗
∈ E
∗
| |x
∗
, d
∗
≤ f
♠
(x ; d) pour tout d ∈ E
.
On a gagné un peu (par rapport à ∂ Cl f (x)) au sens où ∂ mp f (x) = {D F f (x)}
quand f est différentiable en x, mais on a perdu par le fait que la multiapplication ∂ mp : E ⇒ E ∗ n’est pas "semicontinue extérieurement". Dans
beaucoup d’applications, notamment celles concernant les fonctions valeurs
propres, les deux notions coïncident ([HUL]).
Pour les fonctions s.c.i. à valeurs dans R∪{+∞}, les sous-différentiels généralisés que nous avons abordés (2 `
eme partie du chapitre) apparaissent parfois
dans la littérature sous des noms différents. Les livres [RW] (pour un contexte
de dimension finie) et [S] fourniront à l’étudiant-lecteur, s’il en a besoin, un
panorama détaillé sur ces objets.
Enfin, une approche "par limites de sous-différentiels", initiée dès la fin des
années 1970 par A.Y. Kruger et B.S. Mordukhovich, conduit à des objets
(cônes normaux, sous-différentiels généralisés) qui ne sont pas nécessairement convexes. On y gagne en finesse (les concepts définis sont très précis) mais on perd la maniabilité fournie par la technologie de l’Analyse
convexe. Le volumineux ouvrage [M] propose une présentation détaillée de
cette approche.
Maintenant que le Cours est terminé, le lecteur-étudiant pourra se faire les
dents sur des problèmes variationnels ou d’optimisation non résolus (ou non
complètement résolus) à ce jour.
J.- B. Hiriart- Urruty. "Potpourri of conjectures and open questions in
nonlinear analysis and optimization". SIAM Review Vol. 49, 2 (2007), p. 255273.