EXERCICES
165
a) Montrer que f S, k et f S, k sont des fonctions Lipschitz sur tout
l’espace E, avec k comme constante de Lipschitz, et qu’elles coïncident avec f sur S.
b) Soit g un prolongement k-Lipschitz de f , c’est-à-dire une fonction
Lipschitz sur E (de constante de Lipschitz k) qui coïncide avec f
sur S. Montrer que
f
S, k
≤ g ≤ f S, k .
2) Soit f définie sur E par :
∀ x ∈ E, f (x) = −d S c (x),
où S c désigne le complémentaire (supposé non vide) de S dans E.
Quel est dans ce cas le prolongement f S, 1 ?
3) Soit S constitué d’un nombre fini de points de E, soit f : E → R une
fonction quelconque. Montrer qu’il existe une fonction g Lipschitz sur E
vérifiant :
∀ s ∈ S, g(s) = f (s)
(interpolation d’une fonction quelconque par une fonction Lipschitz).
4) On suppose ici que S est fermé et que k > 0. Montrer que ¯
x ∈ S est
un minimiseur global de f sur S si et seulement si ¯
x est un minimiseur
global de f S, k sur E.
Donner alors deux formes de conditions nécessaires d’optimalité vérifiées
par ¯
x (en termes de sous-différentiels généralisés).
Exercice 5 (Conditions suffisantes d’optimalité)
Soit (E, ·) un espace de Banach et f : E → R localement Lipschitz.
1) Soit C une partie convexe de E et ¯
x ∈ C vérifiant :
∀ x ∈ C, x
∗
∈ ∂ f (x), x
∗
, x − ¯
x ≤ 0.
(6.43)
a) Montrer que ¯
x est alors un minimiseur de f sur C.
b) Montrer que si l’inégalité dans (6.43) est stricte pour tout x ∈ C, x =
¯
x, alors ¯
x est un minimiseur strict de f sur C (c’est-à-dire f (x) >
f ( ¯
x) pour tout x ∈ C, x = ¯
x).
c) Indiquer pourquoi la condition (6.43) est satisfaite dès que
f
◦
(x ; ¯
x − x) ≤ 0 pour tout x ∈ C.
(6.44)
165
a) Montrer que f S, k et f S, k sont des fonctions Lipschitz sur tout
l’espace E, avec k comme constante de Lipschitz, et qu’elles coïncident avec f sur S.
b) Soit g un prolongement k-Lipschitz de f , c’est-à-dire une fonction
Lipschitz sur E (de constante de Lipschitz k) qui coïncide avec f
sur S. Montrer que
f
S, k
≤ g ≤ f S, k .
2) Soit f définie sur E par :
∀ x ∈ E, f (x) = −d S c (x),
où S c désigne le complémentaire (supposé non vide) de S dans E.
Quel est dans ce cas le prolongement f S, 1 ?
3) Soit S constitué d’un nombre fini de points de E, soit f : E → R une
fonction quelconque. Montrer qu’il existe une fonction g Lipschitz sur E
vérifiant :
∀ s ∈ S, g(s) = f (s)
(interpolation d’une fonction quelconque par une fonction Lipschitz).
4) On suppose ici que S est fermé et que k > 0. Montrer que ¯
x ∈ S est
un minimiseur global de f sur S si et seulement si ¯
x est un minimiseur
global de f S, k sur E.
Donner alors deux formes de conditions nécessaires d’optimalité vérifiées
par ¯
x (en termes de sous-différentiels généralisés).
Exercice 5 (Conditions suffisantes d’optimalité)
Soit (E, ·) un espace de Banach et f : E → R localement Lipschitz.
1) Soit C une partie convexe de E et ¯
x ∈ C vérifiant :
∀ x ∈ C, x
∗
∈ ∂ f (x), x
∗
, x − ¯
x ≤ 0.
(6.43)
a) Montrer que ¯
x est alors un minimiseur de f sur C.
b) Montrer que si l’inégalité dans (6.43) est stricte pour tout x ∈ C, x =
¯
x, alors ¯
x est un minimiseur strict de f sur C (c’est-à-dire f (x) >
f ( ¯
x) pour tout x ∈ C, x = ¯
x).
c) Indiquer pourquoi la condition (6.43) est satisfaite dès que
f
◦
(x ; ¯
x − x) ≤ 0 pour tout x ∈ C.
(6.44)