164
CHAPITRE 6. SOUS-DIFFÉRENTIELS GÉNÉRALISÉS
Exercices
Exercice 1 (Comparaison locale de deux fonctions localement Lipschitz)
1) Soit f, g : O ⊂ E → R localement Lipschitz, soit ¯
x ∈ O. On suppose
f ( ¯
x) = g( ¯
x),
f (x) ≥ g(x) dans un voisinage de ¯
x.
Montrer qu’alors ∂ f ( ¯
x) ∩ ∂g( ¯
x) = ∅.
2) Application. Soit f 1 , . . . , f k : O ⊂ E → R localement Lipschitz et f :=
max( f 1 , . . . , f k ).
Montrer que le sous-différentiel ∂ f (x), dont on sait déjà qu’il est inclus
dans l’ensemble co {∂ f i (x) | i tel que f i (x) = f (x)}, vérifie
∂ f (x) ∩ ∂ f i (x) = ∅ pour tout i tel que f i (x) = f (x).
Exercice 2 (Sous-différentiel généralisé de | f | versus celui de f )
Soit f : O ⊂ E → R localement Lipschitz et x ∈ O un point en lequel f
s’annule. Montrer
co {∂ | f |(x) ∪ − ∂ | f |(x)} = co {∂ f (x) ∪ − ∂ f (x)} ;
bref, ∂ f (x) et ∂ | f |(x) ont la même "enveloppe convexe symétrisée".
Exercice 3 (Théorème de coïncidence ("squeeze theorem"))
Soit f 1 , . . . , f k : O ⊂ E → R localement Lipschitz. On suppose :
f 1 ≥ f 2 ≥ . . . ≥ f k dans un voisinage de ¯
x;
f 1 ( ¯
x) = f 2 ( ¯
x) = . . . = f k ( ¯
x).
Montrer qu’alors ∂ f 1 ( ¯
x) ∩ ∂ f 2 ( ¯
x) ∩ . . . ∩ ∂ f k ( ¯
x) = ∅.
Exercice 4 (Prolongements lipschitziens)
Étant donné une partie non vide S de l’espace de Banach (E, ·), on désigne
par L ip (S) la classe des fonctions f : E → R vérifiant une condition de
Lipschitz sur S, c’est-à-dire vérifiant
||| f ||| := sup
| f (x) − f (y)|
x − y
x et y dans S, x = y
< +∞.
1) Soit f ∈ L ip (S) et k ≥ ||| f |||. On pose :
∀ x ∈ E, f S,k (x) = sup
u∈ S
{ f (u) − k x − u } ,
f S, k (x) = inf
u∈ S
{ f (u) + k x − u } .