2. FONCTIONS S.C.I. À VALEURS DANS R ∪ {+∞}
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pour un concept jouissant de règles de calcul robustes pour des fonctions
considérées f si générales. Comme sous-produit, nous définissons
∂
Cl f (x) =
x
∗
∈ E
∗
| |x
∗
, d ≤ f
◦
(x ; d) pour tout d ∈ E
.
(6.34)
Il se trouve que, lorsque ∂ Cl f (x) = ∅, f ◦ (x ; ·) est la fonction d’appui
de l’ensemble ∂ Cl f (x). Avec la figure ci-jointe, on comprend aisément
pourquoi c’est "x → x et f (x ) → f (x)" qui apparaît dans la construction
de f ◦ (x ; d) dans (6.33) (il faut vraiment qu’on s’approche de (x, f (x)) via
le graphe ou l’épigraphe de f ).
E
Comme pour les fonctions localement Lipschitz, on laissera tomber la
référence Cl dans le graphisme désignant le sous-différentiel généralisé (ou
gradient généralisé) de Clarke (définition (6.34)).
• Le sous-différentiel généralisé au sens de Fréchet
En raison de la ressemblance avec la définition de différentiabilité de f en x
au sens de Fréchet, on dit que f est sous-différentiable au sens de Fréchet
(ou F-sous-différentiable) en x s’il existe x ∗ ∈ E ∗ tel que
lim inf
d→ 0
f (x + d) − f (x) − −x ∗ , d
d
≥ 0 .
(6.35)
L’ensemble des x ∗ vérifiant ceci est appelé le F-sous-différentiel de f en x
et est noté ∂ F f (x). Comme on s’y attend, si f est Fréchet-différentiable
en x, ∂ F f (x) ne contient qu’un seul élément : D F f (x).
Une autre manière d’exprimer que x ∗ ∈ ∂ F f (x), plus proche de celles qui
vont suivre, est comme suit : Pour tout ε > 0, il existe un voisinage B(x, δ)
de x tel que
f (x
) ≥ f (x) + +x
∗
, x
− x − ε
x
− x
pour tout x
∈ B(x, δ).