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CHAPITRE 6. SOUS-DIFFÉRENTIELS GÉNÉRALISÉS
• Le sous-différentiel généralisé au sens de viscosité
Cette nouvelle définition est une légère variante de la précédente. La fonction f est dite sous-différentiable au sens de viscosité en x (ou V-sousdifférentiable) s’il existe une fonction ϕ ∈ C 1 (E) telle que
f (x) = ϕ(x), f (x
) ≥ ϕ(x
) pour tout x
dans un voisinage de x. (6.36)
La collection des Dϕ(x) pour des fonctions ϕ comme au-dessus est appelée
le V-sous-différentiel de f en x et est notée ∂ V f (x).
Les fonctions ϕ sont comme les fonctions tests dans la théorie des distributions : on considère toutes les minorantes locales ϕ de f et on ramasse toutes
les différentielles Dϕ(x) dans un sac dénommé ∂ V f (x).
L’appellation "de viscosité" vient simplement du fait qu’on utilise des fonctions tests ϕ comme au-dessus dans les définitions de "sous-solution de viscosité" et de "sur-solution de viscosité" dans les équations dites de HamiltonJacobi-Bellman.
Un premier enchaînement d’inclusions est comme suit :
∂
V f (x) ⊂ ∂
F f (x) ⊂ ∂ f (x).
(6.37)
Réduire la généralité du contexte permet de simplifier quelque peu les choses.
On dit que (E, ·) est Fréchet-lisse s’il existe sur E une norme équivalente
à · qui soit différentiable sur E, à part en 0 bien sûr (où une norme n’est
jamais différentiable). C’est le cas de tous les espaces L p (avec leurs normes
habituelles), de tous les espaces de Hilbert (avec les normes hilbertiennes
dérivées des produits scalaires). De plus, un espace de Banach réflexif peut
être renormé avec une norme équivalente jouissant de la propriété de différentiabilité requise. On a alors la propriété suivante : si (E, ·) est Fréchetlisse, ∂ V f = ∂ F f ; ouf, toujours ça de gagné !
• Le sous-différentiel généralisé proximal
Supposons que le contexte de travail soit celui d’un espace de Hilbert H .
On dit que f est sous-différentiable au sens proximal en x s’il existe x ∗ ∈ H
et r > 0 tels que
f (x
) ≥ f (x) + +x
∗
, x
− x − r
x
− x
2
(6.38)
pour tout x dans un voisinage de x. Géométriquement, cela signifie qu’on a
considéré des minorantes locales x → f (x) + +x ∗ , x − x − r
x − x
2
de f qui sont quadratiques.
L’ensemble des x ∗ pour lesquels la propriété au-dessus est satisfaite est appelé
le sous-différentiel généralisé proximal de f en x et est noté ∂ prox f (x). Ceci
nous ramène à bien des choses étudiées au § 2 du Chapitre 2.
CHAPITRE 6. SOUS-DIFFÉRENTIELS GÉNÉRALISÉS
• Le sous-différentiel généralisé au sens de viscosité
Cette nouvelle définition est une légère variante de la précédente. La fonction f est dite sous-différentiable au sens de viscosité en x (ou V-sousdifférentiable) s’il existe une fonction ϕ ∈ C 1 (E) telle que
f (x) = ϕ(x), f (x
) ≥ ϕ(x
) pour tout x
dans un voisinage de x. (6.36)
La collection des Dϕ(x) pour des fonctions ϕ comme au-dessus est appelée
le V-sous-différentiel de f en x et est notée ∂ V f (x).
Les fonctions ϕ sont comme les fonctions tests dans la théorie des distributions : on considère toutes les minorantes locales ϕ de f et on ramasse toutes
les différentielles Dϕ(x) dans un sac dénommé ∂ V f (x).
L’appellation "de viscosité" vient simplement du fait qu’on utilise des fonctions tests ϕ comme au-dessus dans les définitions de "sous-solution de viscosité" et de "sur-solution de viscosité" dans les équations dites de HamiltonJacobi-Bellman.
Un premier enchaînement d’inclusions est comme suit :
∂
V f (x) ⊂ ∂
F f (x) ⊂ ∂ f (x).
(6.37)
Réduire la généralité du contexte permet de simplifier quelque peu les choses.
On dit que (E, ·) est Fréchet-lisse s’il existe sur E une norme équivalente
à · qui soit différentiable sur E, à part en 0 bien sûr (où une norme n’est
jamais différentiable). C’est le cas de tous les espaces L p (avec leurs normes
habituelles), de tous les espaces de Hilbert (avec les normes hilbertiennes
dérivées des produits scalaires). De plus, un espace de Banach réflexif peut
être renormé avec une norme équivalente jouissant de la propriété de différentiabilité requise. On a alors la propriété suivante : si (E, ·) est Fréchetlisse, ∂ V f = ∂ F f ; ouf, toujours ça de gagné !
• Le sous-différentiel généralisé proximal
Supposons que le contexte de travail soit celui d’un espace de Hilbert H .
On dit que f est sous-différentiable au sens proximal en x s’il existe x ∗ ∈ H
et r > 0 tels que
f (x
) ≥ f (x) + +x
∗
, x
− x − r
x
− x
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(6.38)
pour tout x dans un voisinage de x. Géométriquement, cela signifie qu’on a
considéré des minorantes locales x → f (x) + +x ∗ , x − x − r
x − x
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de f qui sont quadratiques.
L’ensemble des x ∗ pour lesquels la propriété au-dessus est satisfaite est appelé
le sous-différentiel généralisé proximal de f en x et est noté ∂ prox f (x). Ceci
nous ramène à bien des choses étudiées au § 2 du Chapitre 2.