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CHAPITRE 6. SOUS-DIFFÉRENTIELS GÉNÉRALISÉS
(vii) Un exemple de règle de calcul sur fonctions composées : Supposons
que f = g ◦ F, avec F continûment différentiable sur O 1 et g localement
Lipschitz sur O 2 . Alors :
∂ f (x) ⊂ [D F(x)]
∗
∂g[F(x)],
(6.22)
où [D F(x)] ∗ : E ∗
2 → E ∗
1 désigne l’adjointe de la différentielle D F(x)
∈ L (E 1 , E 2 ).
Il y a égalité en (6.22) lorsque D F(x) est surjective.
Démonstrations. Nous n’en esquisserons que quelques-unes pour illustrer le
cheminement présenté plus haut.
(i) Pour démontrer (6.16), on utilise le fait que (− f ) ◦ (x ; d) = f ◦ (x ; −d)
pour tout d ∈ E.
(ii) On commence par démontrer que
( f + g)
◦
(x ; d) ≤ f
◦
(x ; d) + g
◦
(x ; d) pour tout d ∈ E.
(iii) En un point ¯
x minimiseur local de f ,
f
◦
( ¯
x ; d) ≥ 0 pour tout d ∈ E.
(iv) On commence par démontrer que
f
◦
( ¯
x ; d) ≤ max
f
◦
i ( ¯
x ; d) | i tels que f i ( ¯
x) = f ( ¯
x)
pour tout d ∈ E.
Etc.
Quelques commentaires avant d’aller plus loin :
– L’inclusion (6.17), et non l’égalité, peut surprendre. En fait, il n’en est
rien, c’est l’égalité qui aurait été étonnante, vu la généralité des fonctions
en jeu et la manière "tarabiscotée" dont le sous-différentiel généralisé est
construit. Pour prendre un exemple simple, si f (x) = −g(x) = |x |,
∂ f (0) = ∂g(0) = [−1, +1], alors que ∂( f + g)(0) = {0} .
– Si f = g − h, avec g et h convexes, la condition d’optimalité (6.18) doit
faire écho à ce que nous avons vu au § 3 du Chapitre 5 (le modèle diffconvexe) : Si ¯
x est un minimiseur local ou un maximiseur local de f =
g − h, alors